ELS_Formulacao e Exemplo

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Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
ESTÁDIO II
Januário Pellegrino Neto
Túlio Nogueira Bittencourt
2023
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Os Estados Limites de Serviço (ELS) retratam situações bastante suscetíveis no 
nosso cotidiano, são aqueles ligados à funcionalidade e à durabilidade, ao conforto e 
à estética da construção.
ELS
Estado Limite de Serviço
Na prática de projetos, com a constante presença de elementos esbeltos, a avaliação 
em serviço passa a ser preponderante na análise estrutural.
Uma boa parte das patologias encontradas nas estruturas usuais atuais se devem a 
uma análise em serviço inadequada.
2
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Concreto-armado
Fissuração
Rigidez
Relação momento-
curvatura
Não-linearidade 
física
Curvatura
Análise das flechas em estruturas de concreto armado
3
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Peças submetidas à 
flexão simples
Momento de fissuração
Fissuração é 
preponderante
Item 17.3.1 (NBR6118)
Diagrama M x 1/r
Análise das flechas em 
estruturas
Diagrama momento-curvatura
Estádios I, II e III
4
Estruturas de Concreto
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ELS – Estado Limite de Serviço
ELU – Estado Limite Último
Na verificação do ELU, correspondentes ao esgotamento 
da capacidade portante, devem ser considerados os 
valores de cálculo:
𝐹𝑑 = 𝛾𝑓 ⋅ 𝐹𝑘 = 1,4 ⋅ 𝐹𝑘 𝑓𝑑 =
𝑓𝑘
𝛾𝑚
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
𝑓𝑐𝑘
1,4
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
=
𝑓𝑦𝑘
1,15
Na verificação dos Estados Limites de Serviço (ELS), 
que são aqueles ligados à funcionalidade e à 
durabilidade, ao conforto e à estética da construção, 
devem ser consideradas as ações com valores de serviço 
(cargas usuais sem majoração).
Desta análise, resulta, em cada seção, a armadura As de 
tração na flexão e, eventualmente, A’s de compressão
𝐹𝑑 = 𝐹𝑔𝑘 + 𝜓 ⋅ 𝐹𝑞𝑘 ቐ
𝐹𝑑
𝐶𝑄𝑃
= 𝐹𝑔𝑘 + 𝜓2 ⋅ 𝐹𝑞𝑘
𝐹𝑑
𝐶𝐹 = 𝐹𝑔𝑘 + 𝜓1 ⋅ 𝐹𝑞𝑘
Desta forma, a Norma (NBR-6118) preconiza, para o 
cálculo das solicitações de serviço, a combinação de 
ações onde a carga permanente é considerada com o 
seu valor gk (valor característico) e a carga acidental 
com o valor ponderado y.qk:
5
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
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ELS – Estado Limite de Serviço
Considere-se a seção transversal retangular da figura ao 
lado a flexão. Pode-se escrever. Pode-se escrever:
M M
r
As
dx
d
cdx
s dx
r
dx
r
dx
d
ou
r d
c s c s=
+
=
+( )   1
Admitida a hipótese usual da seção plana manter-se 
plana na flexão e, também, a validade da lei de Hooke 
para o comportamento do material, tem-se:
  

= = =
= = = = =
1 1
1 1 12 2
r
y e E E
r
y
M ydA E
r
y dA E
r
y dA
EI
r
ou
M
EI r
AAA
Considere-se uma viga biapoiada, de seção 
transversal constante, sujeita a momento 
fletor constante e constituida de material 
isótropo elástico-linear, figura abaixo:
M M
O produto de rigidez de flexão EI é 
constante e a curvatura é crescente 
linearmente com M. A flecha máxima vale:
a
M
EI
=
2
8
6
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
ELS – Estado Limite de Serviço
A figura apresenta, esquematicamente, o diagrama momento-curvatura médio da 
seção para carregamento crescente até a ruptura, bem como, o diagrama tensão-
deformação do concreto onde, a resistência à tração fct é da ordem de 1/10 da 
resistência à compressão (fck/10).
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ct
A
f
cc

c
(encurtamento)
(compres.)
c
Para momento fletor pequeno, o comportamento do 
concreto (e, também, da armadura) pode ser 
admitido elástico-linear, na compressão e na tração, 
com tensões de tração limitados ao ponto A do 
diagrama (c-c). 
Tem-se, assim, uma reta no diagrama momento-
curvatura e diz-se que as seções se encontram no 
Estádio Ia de solicitação.
7
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
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ELS – Estado Limite de Serviço
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ct
A
f
cc

c
(encurtamento)
(compres.)
c
Para momento fletor pequeno, o 
comportamento do concreto (e, também, 
da armadura) pode ser admitido elástico-
linear, na compressão e na tração, com 
tensões de tração limitados ao ponto A do 
diagrama (c-c). 
Tem-se, assim, uma reta no diagrama 
momento-curvatura e diz-se que as seções 
se encontram no Estádio Ia de solicitação.
Com o aumento do momento fletor, ao ser atingida, na fibra mais tracionada do concreto, a sua resistência à 
tração (fct), começa aí a plastificação do concreto por tração (Estádio Ib); logo a seguir, uma seção qualquer 
da viga pode romper por tração para um momento fletor de valor Mro dito momento de fissuração. Se a 
quantidade de armadura de tração for igual ou superior ao valor mínimo, denominada armadura mínima, a 
seção apresentará uma fissura, porém, sem perda da capacidade portante porque a armadura terá 
condições de substituir, do ponto de vista do equilíbrio, a resultante de tensões de tração que existia na 
parte tracionada da seção antes de ocorrer a fissuração.
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Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
ELS – Estado Limite de Serviço
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ct
A
f
cc

c
(encurtamento)
(compres.)
c
Continuando com o aumento progressivo do 
carregamento tem-se uma fase de formação 
de novas fissuras, bem como, de aumento 
das aberturas das fissuras existentes que 
tendem a se estabilizar numa configuração 
fissurada final (fissuração estabilizada, 
condicionada à obediência à armadura 
mínima) para um momento Mrn. 
Entre Mro e Mrn o diagrama momento-
curvatura é não linear por corresponder a 
uma fase de fissuração progressiva.
Entre Mrn e Muo, já com a fissuração estabilizada, o comportamento é praticamente elástico-linear com aberturas 
crescentes das fissuras abertas; diz-se que a seção se encontra no Estádio II de solicitação.
O momento Muo corresponde ao início da plastificação do concreto por compressão.
9
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
ELS – Estado Limite de Serviço
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ct
A
f
cc

c
(encurtamento)
(compres.)
c
Entre Muo e Mun, o andamento do 
diagrama volta a ser não linear devido à 
plastificação progressiva do concreto 
comprimido. Mun é o momento último da 
seção por compressão do concreto e 
corresponde ao cálculo no Estádio III de 
solicitação.
Normalmente, para as cargas de serviço, o nível de tensões de compressão é da ordem 
de 40% a 50% da resistência do concreto à compressão. 
Nestas condições, a seção encontra-se, seguramente, no Estádio II de solicitação.
Assim, os cálculos que envolvem a verificação dos Estados Limites de Serviço (ELS) 
devem ser efetuados no Estádio II.
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Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
ELS – Estado Limite de Serviço
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ct
A
f
cc

c
(encurtamento)
(compres.)
c
Ainda, com referência à figura ao lado, a reta 
pontilhada menos inclinada corresponde ao que se 
pode chamar de Estádio II puro onde se 
desprezam, totalmente, as tensões de tração no 
concreto.
O diagrama real reflete o comportamento médio do 
concreto e mostra a influência de um número finito 
de fissuras que se estabelecem no trecho de viga 
considerado,lembrando que, entre estas fissuras, o 
concreto encontra-se sujeito a tensões de tração. 
Daí a diferença entre os dois diagramas. 
Na prática, quando se fala em cálculo no Estádio II, 
está-se referindo ao cálculo no Estádio II puro.
11
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I Estádio II Estádio III
f ct
A
f
cc

c
(encurtamento)
(compres.)
c
Hipóteses básicas:
• Manutenção da seção plana;
• Aderência perfeita entre o concreto e o armadura 
(escorregamento relativo nulo)
• Resistência do concreto à tração igual a zero.
• Validade da lei de Hooke para os dois materiais:
• Concreto – c = Ec c
 Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 5600 (fck)
1/2
• Aço - s = Es s
 Es = 210 GPa = 210.000 MPa = 21.000 KN/cm2
12
Estruturas de Concreto
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Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Hipóteses básicas:
• Manutenção da seção plana;
• Aderência perfeita entre o concreto e o armadura 
(escorregamento relativo nulo)
• Resistência do concreto à tração igual a zero.
• Validade da lei de Hooke para os dois materiais:
• Concreto – c = Ec c
 Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 5600 (fck)
1/2
• Aço - s = Es s
 Es = 210 GPa = 210.000 MPa = 21.000 KN/cm2
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
Seção Retangular
com Armadura Simples
13
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
Seção Retangular
com Armadura Simples
Equação de compatibilidade
(manutenção da seção plana)
 
 c s
s c
x d x
d x
x
=
−
→ =
−
Equações constitutivas
(comportamento elástico linear – concreto e aço)
    
c c c s s s s c
E e E E
d x
x
= = =
−
14
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
Seção Retangular
com Armadura Simples
Posição da linha neutra – LN (x)
Da equação de equilíbrio de força resulta:
ou
R R ou
bxE
A E
d x
x
c s
c c
s s c
= =
−

2
bx
A d x onde
E
E
s e e
s
c
2
2
= − = ( )
A equação resultante mostra que a linha neutra passa 
pelo centro de gravidade da figura formada pela área 
comprimida (b.x) e pela armadura fictícia (e.As). 
15
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Simples
Posição da linha neutra – LN (x)
A equação resultante mostra que a linha neutra passa 
pelo centro de gravidade da figura formada pela área 
comprimida (b.x) e pela armadura fictícia (e.As). 
( ) ( )x A b x A b d
s e s e
2 2 2 0+ − = / /
( )
( )
x d com
A
b d
e d
e d
d
s=   − + +









=

 
 
1 1
2
x
A
b
bd
A
s e
s e
=

− + +








1 1
2
16
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Simples
Produto de rigidez à flexão – EcsIII
1
r d x E d x
s s
s
=
−
=
−
 
( )
1
r
M
E I
A z
E I
c II
s s
c II
= =

b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
E I A E d x z
c II s s
= −( )
𝐼𝐼𝐼 = 𝐴𝑠 ⋅ 𝛼𝑒(𝑑 − 𝑥)(𝑑 − 𝑥/3)
17
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑥3
3
+ 𝐴𝑠 ⋅ 𝛼𝑒(𝑑 − 𝑥)2
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Simples
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
Tensões no materiais – c e s
“as resultantes de tensões são obtidas da 
equação de equilíbrio de momento e, as 
tensões, a partir das forças resultantes”
𝑀 = 𝑅𝑠 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
) = 𝐴𝑠 ⋅ 𝜎𝑠 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
)
𝜎𝑠 =
𝑀
𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
)
𝑀 = 𝑅𝑐 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
) =
𝑏 ⋅ 𝑥
2
⋅ 𝜎𝑐 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
)
𝜎𝑐 =
2 𝑀
𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
)
18
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Simples
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
Resistência dos Materiais
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥
𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑑 − 𝑥)
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏 ⋅ 𝑥3
3
+ 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑥)2
19
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular
com Armadura Dupla
Equação de compatibilidade
(manutenção da seção plana)
Equações constitutivas
(comportamento elástico linear – concreto e aço)
20
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
A's d' '
s
R's
  
   c s s
s c s c
x d x x d
d x
x
x d
x
=
−
=
−
→ =
−
=
−'
'
, '
'
       
c c c s s s s c s s s s c
E e E E
d x
x
E E
x d
x
= = =
−
= =
−
, ' '
'
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular
com Armadura DuplaPosição da linha neutra – LN (x)
Da equação de equilíbrio de força resulta:
A equação resultante mostra que a linha neutra passa pelo 
centro de gravidade da figura formada pelas áreas 
comprimidas (b.x) e (e.A’s) e pela armadura fictícia (e.As). 
21
R R R
c s s
+ ='
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
A's d' '
s
R's
M R d x R x d
s s
= − + −( / ) ' ( / ' )3 3
bxE
A E
x d
x
A E
d x
x
c c
s s c s s c

 
2
+
−
=
−
'
'
bx
A x d A d x
s e s e
2
2
+ − = −' ( ' ) ( ) 
R bx bxE
c c c c
= = / /2 2
R A A E
d x
x
R A A E
x d
x
s s s s s c s s s s s c
= =
−
= =
−
   , ' ' ' '
'
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Dupla
Posição da linha neutra – LN (x)
22
A equação resultante mostra que a linha neutra passa pelo 
centro de gravidade da figura formada pelas áreas 
comprimidas (b.x) e (e.A’s) e pela armadura fictícia (e.As). 
( )x d
d
d onde
A
bd
e d d
e d d
d d
d d
d
s=  + − + +
+






+
+


















=  
  
 
 
'
'
' '
'
'
'
1 1
2 1
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Dupla
Produto de rigidez à flexão – EcsIII
23
1
r d x E d x
e
x d
d x
ou
x d
d x
s s
s
s
s
s s
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
  

 
( )
' '
'
'
1 3 3
r E d x
A d x A x d x d d x
E I
s
s
s s s s
c II
=
−
=
− + − − −  
( )
( / ) ' ( / ' ) ( ' ) / ( )
E I A E d x d x A E x d x d
c II s s s s
= − − + − −( )( / ) ' ( / ')( ')3 3
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
A's d' '
s
R's
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Dupla
Tensões no materiais – c e s
“as resultantes de tensões são obtidas da 
equação de equilíbrio de momento e, as tensões, a partir 
das forças resultantes”
24
𝜎𝑐 =
2 ⋅ 𝑀
𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
) + 2 ⋅ 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠
′ (𝑥 − 𝑑′) ⋅ (𝑑 − 𝑑′)
𝑥
𝜎𝑠 =
𝑀
𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑥/3) + 𝐴𝑠
′ (𝑥 − 𝑑′) ⋅ (𝑥/3 − 𝑑′)
(𝑑 − 𝑥)
𝜎𝑠
′ =
𝑀
𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑥/3) ⋅ (𝑑 − 𝑥)/(𝑥 − 𝑑′) + 𝐴𝑠
′ ⋅ (𝑥/3 − 𝑑′)
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
A's d' '
s
R's
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Dupla
Resistência dos Materiais
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥
𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑑 − 𝑥)
25
𝜎𝑠
′ = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑥 − 𝑑′)
b
h d
Rc
Rs
x
c
s
c
s
As
M
x/3
z=d-x/3
A's d' '
s
R's
I
bx
A d x A x d
II s e s e
= + − +  − 
3
2 2
3
 ( ) ( )
Estruturas de ConcretoELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
26
ELS – Estado Limite de Serviço
Deformações e Fissurações Excessivas
Os Estados Limites de Serviço (ELS) retratam situações bastante suscetíveis no 
nosso cotidiano. Quem nunca presenciou uma estrutura que possui fissuras, flechas 
ou vibrações que deixam uma sensação desagradável?
ELS-DEF
ELS-WDesconforto visual, 
prejudica a durabilidade
Desconforto visual, 
mal funcionamento
- Flechas nas vigas e lajes
- Fissuras em vigas e lajes
“A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é 
inevitável, ...; mesmo sob ações de serviço (utilização),..., visando 
buscar um bom desempenho...quanto a corrosão e a aceitabilidade 
sensorial, busca-se controlar à abertura dessas fissuras.
Item 13.4.1 (NBR6118) - Controle da fissuração
“A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim 
como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e 
resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação.”
Item 17.3.2 (NBR6118) - Estado limite de deformação
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
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27
VERIFICAÇÕES - ELS
Deformações Excessivas
𝑀𝑟 =
𝛼𝑓𝑐𝑡𝐼𝑐
𝑦𝑡
Momento de fissuração
𝛼 = ቐ
1,2
1,3
1,5
seções T ou duplo T
seções I ou T invertido
seções retangulares.
• 𝛼: correlação entre resistência à tração na flexão e na tração 
direta;
• 𝑦𝑡: distância do centro de gravidade da seção à fibra mais 
tracionada;
• 𝐼𝑐: momento de inércia da seção bruta de concreto;
• 𝑓𝑐𝑡: resistência à tração direta. (obs: para o cálculo de 𝑓𝑐𝑡 
usa-se 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 para fissuração e 𝑓𝑐𝑡,𝑚 para flechas.
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 𝑓𝑐𝑘
2/3
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
28
VERIFICAÇÕES - ELS
Deformações Excessivas
𝐸𝐼 𝑒𝑞 = 𝐸𝑐𝑠
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝑐 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼II ≤ 𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐
Rigidez para o cálculo da 
flecha imediata
• 𝐼𝑐: momento de inércia da seção bruta de concreto;
• 𝐼II: momento de inércia no estádio II, calculado com 𝛼𝐸 = 𝐸𝑠/𝐸𝑐𝑠;
• 𝑀𝑎: momento fletor na seção crítica do vão;
• 𝑀𝑟: momento de fissuração;
• 𝐸𝑐𝑠: módulo de elasticidade secante. 𝐸𝑐𝑠 = 0,85 · 5600 𝑓𝑐𝑘
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
29
VERIFICAÇÕES - ELS
Deformações Excessivas
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50𝜌′
Flecha diferida no tempo:
𝜌′ =
𝐴𝑠
′
𝑏𝑑
Obtida multiplicando-se a flecha imediata pelo fator 𝛼𝑓.
A flecha total, portanto é obtida multiplicando-se a 
flecha imediata por 1 + 𝛼𝑓 .
Estruturas de Concreto
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30
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
31
Valor característico da 
abertura de fissuras:
Adota-se o menor valor dentre os calculados:
VERIFICAÇÕES - ELS
Fissuração Excessiva
𝑤𝑘 =
ϕi
12,5𝜂1
𝜎𝑠𝑖
𝐸𝑠𝑖
3𝜎𝑠𝑖
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑤𝑘 =
ϕi
12,5𝜂1
𝜎𝑠𝑖
𝐸𝑠𝑖
4
𝜌𝑟𝑖
+ 45
• ϕi: diâmetro da barra considerada;
• 𝜎𝑠𝑖: tensão de tração no centro de gravidade da armadura 
considerada, calculada no estádio II.
• 𝜌𝑟𝑖 = 𝐴𝑠𝑖/𝐴𝑐𝑟𝑖;
• 𝐴𝑠𝑖: área da barra 𝑖;
• 𝐸𝑠𝑖: módulo de elasticidade do aço da barra 𝑖;
• 𝐴𝑐𝑟𝑖: área da região envolvida pela barra 𝑖.
• 𝜂1 e 𝐴𝑐𝑟𝑖 são dados no próximo slide.
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
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32
VERIFICAÇÕES - ELS
Fissuração Excessiva
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
33
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
34
VERIFICAÇÕES - ELS
Combinações de Serviço
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖,𝑘 + ∑ψ2j𝐹𝑞𝑗,𝑘 (CQP)
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖,𝑘 + ψ1𝐹𝑞1,𝑘 + ∑ψ2j𝐹𝑞𝑗,𝑘 (CF)
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝑔𝑖,𝑘 + 𝐹𝑞1,𝑘 + ∑ψ1j𝐹𝑞𝑗,𝑘 (CR)
• CQP: Combinações quase permanentes de serviço.
• CF: Combinações frequentes de serviço;
• CR: Combinações raras de serviço;
Estruturas de Concreto
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Estádio II Puro – Verificações de Flecha e Fissura
EXEMPLO
A viga simplesmente apoiada, ensaiada numericamente, apresenta o diagrama momento-curvatura (M-1/), e armadura na 
seção no meio do vão, indicados na figura abaixo. Pede-se, utilizando a armadura efetiva e as alturas úteis efetivas:
a) O momento resistente (ELU) da seção do meio do vão; 
“compare o valor indicado no diagrama M-1/ com o resultado analítico”.
b) Determinar as características geométricas do Estádio II (xLN, III, c, s),
sendo as tensões para a combinação frequente - CF; 
“compare o III, obtido do diagrama M-1/ com o resultado analítico”.
c) Verificar as flechas, a∞
CQP e aQ, considerando t=70 meses e t0=1 mês; 
“considere a rigidez equivalente ECs.Ieq para Ma=MCQP em todos
d)Verificar a abertura de fissuras, considerando barras de alta aderência (h1 = 2,25).
concreto C30 (fck=30 MPa) e aço CA50 (fyk=500 MPa), 
gk=12 kN/m (carga permanente), qk=8 kN/m (carga acidental)
combinação CQP (y2 = 0,4) e CF (y1 = 0,6): Md = Mgk + y.Mqk.
Estrutura CA II – wk ≤ 0,3mm, c=3,0cm; av= ah= 2,0 cm; 
ft = 5mm e fl16mm (As1=2,0 cm2)
35
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
A viga simplesmente apoiada, ensaiada numericamente, apresenta o diagrama 
momento-curvatura (M-1/), e armadura na seção no meio do vão, indicados na figura 
abaixo. Pede-se, utilizando a armadura efetiva e as alturas úteis efetivas:
a) O momento resistente (ELU) da seção do meio do vão; 
“compare o valor indicado no diagrama M-1/ com o resultado analítico”.
b) Determinar as características geométricas do Estádio II (xLN, III, c, s),
sendo as tensões para a combinação frequente - CF; 
“compare o III, obtido do diagrama M-1/ com o resultado analítico”.
c) Verificar as flechas, a∞
CQP e aQ, considerando t=70 meses e t0=1 mês; 
“considere a rigidez equivalente ECs.Ieq para Ma=MCQP em todos
d)Verificar a abertura de fissuras, considerando barras de alta aderência (h1 = 2,25).
36
Estádio II Puro – Verificações de Flecha e Fissura
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
A viga simplesmente apoiada, ensaiada numericamente, apresenta o diagrama momento-
curvatura (M-1/), e armadura na seção no meio do vão, indicados na figura abaixo. Pede-
se, utilizando a armadura efetiva e as alturas úteis efetivas:
a) O momento resistente (ELU) da seção do meio do vão; 
“compare o valor indicado no diagrama M-1/ com o resultado analítico”.
b) Determinar as características geométricas do Estádio II (xLN, III, c, s),
sendo as tensões para a combinação frequente - CF; 
“compare o III, obtido do diagrama M-1/ com o resultado analítico”.
Verificação ELU - EXEMPLO
𝐴𝑠 = 10 cm2
𝑑 = 70 − 5,74 = 64,26 cm
𝑅𝑠𝑑 = 𝑅𝑐𝑑
10 ⋅
50
1,15
= 0,68 ⋅ 20 ⋅ 𝑥 ⋅
3,0
1,4
𝑥 = 14,92 cm
𝑥
𝑑
= 0,232 ∴ (D2) − ok!
armadura escoando
a. Mrd = Mu
M𝑟𝑑 = 𝑀𝑢 = 𝑅𝑠𝑑 ⋅ (𝑑 − 0,4 ⋅ 𝑥)
𝑀𝑟𝑑 = 𝑀𝑢 = 10 ⋅
50
1,15
⋅ (0,6426 − 0,4 ⋅ 0,1492) = 253,4 kN.m
37
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro - EXEMPLO
b. Estádio II – x e III – c e s 𝐸𝑐𝑠 = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ 30 = 26072 MPa
E𝑠 = 210000 MPa
𝛼𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
210000
26072
= 8,05𝑏 ⋅ 𝑥2
2
= 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ (64,26 − 𝑥)
20 ⋅ 𝑥2
2
= 8,05 ⋅ 10 ⋅ (64,26 − 𝑥)
10 ⋅ 𝑥2 = 5172,93 − 80,5 ⋅ 𝑥
𝑥2 + 8,05 ⋅ 𝑥 − 517,293 = 0
𝑥 = 19,07 cm
I𝐼𝐼 =
20
3
⋅ (19,07)3 + 8,05 ⋅ 10 ⋅ (64,26 − 19,07)2
𝐼𝐼𝐼 = 46234 + 164392 = 210626 cm4 (36,8% I𝑐)
𝐼𝑐 =
20 ⋅ 703
12
= 571667 cm4
38
𝑀𝑑
𝐶𝐹 = (12 + 0,6⋅ 8) ⋅
82
8
= 134,4 kN.m
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥 =
13440
210626
⋅ 19,07 = 1,22
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 12,2 MPa
𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑑 − 𝑥) = 8,05 ⋅
13440
210626
⋅ (64,26 − 19,07) = 23,2
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro - EXEMPLO
b. Estádio II – x e III – c e s
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ 30 = 26072 MPa
E𝑠 = 210000 MPa
𝛼𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
210000
26072
= 8,05
𝑥 = 19,07 cm
Resistência dos Materiais
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏 ⋅ 𝑥3
3
+ 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑥)2
I𝐼𝐼 =
20
3
⋅ (19,07)3 + 8,05 ⋅ 10 ⋅ (64,26 − 19,07)2
𝐼𝐼𝐼 = 46234 + 164392 = 210626 cm4 (36,8% I𝑐)
𝐼𝑐 =
20 ⋅ 703
12
= 571667 cm4
Equilíbrio
𝐼𝐼𝐼 = 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 − 𝑥) ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
) + 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠
′ ⋅ (
𝑥
3
− 𝑑′) ⋅ (𝑥 − 𝑑′)
𝐼𝐼𝐼 = 8,05 ⋅ 10 ⋅ (64,26 − 19,07) ⋅ (64,26 −
19,07
3
)
𝐼𝐼𝐼 = 210640 cm2
39
𝑀𝑑
𝐶𝐹 = (12 + 0,6 ⋅ 8) ⋅
82
8
= 134,4 kN.m
Resistência dos Materiais
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥 =
13440
210626
⋅ 19,07 = 1,22
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 12,2 MPa
𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥 = 8,05 ⋅
13440
210626
⋅ (64,26 − 19,07) = 23,2
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
𝐄𝐪𝐮𝐢𝐥í𝐛𝐫𝐢𝐨
𝜎𝑐 =
2 ⋅ 𝑀
𝑏 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3)
𝜎𝑐 =
2 ⋅ 13440
20 ⋅ 19,07 ⋅ (64,26 −
19,07
3
)
= 1,22
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 12,2 MPa
𝜎𝑠 =
𝑀
𝐴𝑠 ⋅ (𝑑 −
𝑥
3
)
𝜎𝑠 =
13440
10 ⋅ (64,26 −
19,07
3
)
= 23,2
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
𝐼𝐼𝐼
𝐸𝑞
= 210640 ≅ 210626 = 𝐼𝐼𝐼
𝑅𝑀 (cm2)
Estruturas de Concreto
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Verificação das Deformações Excessivas
Flechas em Vigas
40
𝑎0
𝐶𝑄𝑃
=
5 ⋅ 𝑝𝐶𝑄𝑃 ⋅ ℓ4
384 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼
𝑎∞
CQP
≤
ℓ
250
𝑎𝑞 ≤
ℓ
350
𝑎𝑡 = 𝑎0 ⋅ 1 + 𝛼𝑓
𝑎𝑡 = 𝑎0 ⋅ 1 + Δ𝜉(𝑡)
𝜉(1) = 0,68
𝜉(70) = 2,0
Δ𝜉 = 2,0 − 068 = 1,32
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ 𝑓𝑐𝑘 (MPa)
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 ⋅ 5600 ⋅ 30
= 26072
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ⋅ 𝑓𝑐𝑘
2/3
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ⋅ 302/3 = 2,9 MPa
M𝑟 = 𝛼 ⋅ 𝑓𝑐𝑡𝑚 ⋅
𝐼𝑐
𝑦𝑡
= 𝛼 ⋅ 𝑓𝑐𝑡𝑚 ⋅ 𝑊𝑡
𝑀𝑟 = 1,5 ⋅ 2900 ⋅
571667 ⋅ 10−8
0,35
= 71,1 kN.m
𝑀𝑟 = 1,5 ⋅ 2900 ⋅
20 ⋅ 702
6
⋅ 10−6 = 71,1 kN.m
M𝑎 = 𝑀𝑑
𝐶𝑄𝑃
=
𝑝𝐶𝑄𝑃 ⋅ ℓ2
8
= (12 + 0,4 ⋅ 8) ⋅
82
8
= 121,6 kN.m
𝑀𝑑
𝐶𝑄𝑃
= 𝑀𝑔𝑘 + 𝜓2 ⋅ 𝑀𝑞𝑘
𝐼𝑒𝑞 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
⋅ 𝐼𝑐 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
⋅ 𝐼𝐼𝐼
𝑀𝑟
𝑀𝑎
=
71,1
121,6
= 0,585
𝐼𝑒𝑞 = (0,585)3 ⋅ 571667 + 1 − (0,585)3 ⋅ 210626
𝐼𝑒𝑞 = 114449 + 168458 = 282907 cm4
𝐸𝑐𝑠 ⋅ 𝐼𝑒𝑞 = 26072 ⋅ 10−1 ⋅ 282907 ⋅ 10−4 = 73760 kN.m2
𝑎0
𝐶𝑄𝑃 =
5 ⋅ 15,2 ⋅ 84
384 ⋅ 73760
= 0,0110 m = 11,0 mm
𝑎𝑡=70 = 11,0 ⋅ 1 + 1,32 = 11,0 ⋅ 2,32 = 25,5 mm <
8000
250
= 32 mm
Rigidez Equivalente - Branson 
Flecha diferida - carga total (CQP) 
(t0= 1 mês e t=70 meses) 
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50 ⋅ 𝜌′
𝜌′ =
𝐴𝑠
𝑏 ⋅ 𝑑
𝜌′ = 0 ∴ 𝛼𝑓 = Δ𝜉
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Verificação das Deformações Excessivas
Flechas em Vigas
41
𝑎𝑞 =
5 ⋅ 𝑞 ⋅ ℓ4
384 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐼
𝑎𝑞 ≤
ℓ
350
𝐸𝑐𝑠 ⋅ 𝐼𝑒𝑞 = 73760 kN.m2
Rigidez Equivalente - Branson 
Flecha – carga acidental (qk)
(cálculo aproximado)
𝑎𝑞 = 𝑎(𝑔+𝑞)
𝐶𝑅 − 𝑎𝑔 =
5 ⋅ 20 ⋅ 84
384 ⋅ 63153
−
5 ⋅ 12 ⋅ 84
384 ⋅ 93155
𝑎𝑞 = 0,0169 − 0,0069 = 0,010 m = 10 mm
𝑀𝑑
𝐶𝑅 = (12 + 8) ⋅
82
8
= 160 kN.m
𝑀𝑟
𝑀𝑑
𝐶𝑅 = 0,444 ∴ 𝐼𝑒𝑞 = 242227 cm4 e 𝐸𝑐𝑠 ⋅ 𝐼𝑒𝑞 = 63153 kN.m2
𝑀𝑔 = 12 ⋅
82
8
= 96 kN.m
𝑀𝑟
𝑀𝑔
= 0,741 ∴ 𝐼𝑒𝑞 = 357300 cm4 e 𝐸𝑐𝑠 ⋅ 𝐼𝑒𝑞 = 93155 kN.m2
Flecha – carga acidental (qk)
a𝑞 =
5 ⋅ 8 ⋅ 84
384 ⋅ 73760
= 5,8 mm <
8000
350
= 22,8 mm
Estruturas de Concreto
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Verificação da Fissuração Excessiva
42
Abertura de Fissura – wk (mm) 𝑤𝑘1 =
𝜙
12,5 ⋅ 𝜂1
⋅
𝜎𝑠
𝐸𝑠
⋅
3 ⋅ 𝜎𝑠
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑤𝑘2 =
𝜙
12,5 ⋅ 𝜂1
⋅
𝜎𝑠
𝐸𝑠
⋅
4
𝜌𝑟𝑖
+ 45
𝑤𝑘 ≤ 0,3 mm
𝑤𝑘1 =
16
12,5 ⋅ 2,25
⋅
23,2
21000
⋅
3 ⋅ 23,2
0,29
= 0,151 mm < 0,3 mm
𝑤𝑘2 =
16
12,5 ⋅ 2,25
⋅
23,2
21000
⋅
4
0,0251
+ 45 = 0,128 mm < 0,3 mm
𝑤𝑘2 =
16
12,5 ⋅ 2,25
⋅
23,2
21000
⋅
4
0,0203
+ 45 = 0,152 mm < 0,3 mm
𝜌𝑟𝑖 =
10
398
= 0,0251
𝜌𝑟𝑖 =
2
98,7
= 0,0203
𝑤𝑘2 =
16
12,5 ⋅ 2,25
⋅
23,2
21000
⋅
4
0,0145
+ 45 = 0,202 mm < 0,3 mm
𝜌𝑟𝑖 =
2
138
= 0,0145 errado
Estruturas de Concreto
ELS – Estado Limite de Serviço
Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
Estádio II Puro
Seção Retangular - Armadura Dupla
Resistência dos Materiais
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥
𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑑 − 𝑥)
43
𝜎𝑠
′ = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑥 − 𝑑′)
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑤𝑥3
3
+ 𝐴𝑠𝛼𝑒(𝑑 − 𝑥)2 + 𝐴𝑠
′ 𝛼𝑒(𝑥 − 𝑑′)2
Linha Neutra - LN
𝑥2 + 2 ⋅ 𝐾 ⋅ 𝑥 − 𝐿 = 0
𝑥 = −𝐾 + 𝐾2 + 𝐿
𝐾 =
𝛼𝑒
𝑏𝑤
⋅ (𝐴𝑠 + 𝐴𝑠
′ )
𝐿 =
2 ⋅ 𝛼𝑒
𝑏𝑤
⋅ (𝐴𝑠 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠
′ ⋅ 𝑑′)
Armadura Simples – A’s = 0
𝐾 =
𝛼𝑒
𝑏𝑤
⋅ 𝐴𝑠
𝐿 =
2 ⋅ 𝛼𝑒
𝑏𝑤
⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑑
Estruturas de Concreto
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Estádio II Puro
Seção T - Armadura Dupla
Linha Neutra na mesa – x ≤ hf
Resistência dos Materiais
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥
𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑑 − 𝑥)
44
𝜎𝑠
′ = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑥 − 𝑑′)
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑓𝑥3
3
+ 𝐴𝑠𝛼𝑒(𝑑 − 𝑥)2 + 𝐴𝑠
′ 𝛼𝑒(𝑥 − 𝑑′)2
Linha Neutra - LN
𝑥2 + 2 ⋅ 𝐾 ⋅ 𝑥 − 𝐿 = 0
𝑥 = −𝐾 + 𝐾2 + 𝐿
𝐾 =
𝛼𝑒
𝑏𝑓
⋅ (𝐴𝑠 + 𝐴𝑠
′ )
𝐿 =
2 ⋅ 𝛼𝑒
𝑏𝑓
⋅ (𝐴𝑠 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠
′ ⋅ 𝑑′)
Armadura Simples – A’s = 0
𝐾 =
𝛼𝑒
𝑏𝑓
⋅ 𝐴𝑠
𝐿 =
2 ⋅ 𝛼𝑒
𝑏𝑓
⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑑
Se a LN se encontra na mesa
x ≤ hf 
valem as mesmas expressões da 
seção retangular com bf = bw.
Estruturas de Concreto
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Estádio II Puro
Seção T - Armadura Dupla
Linha Neutra na alma – x > hf
Resistência dos Materiais
𝜎𝑐 =
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ 𝑥 𝜎𝑠 = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑑 − 𝑥)
45
𝜎𝑠
′ = 𝛼𝑒 ⋅
𝑀
𝐼𝐼𝐼
⋅ (𝑥 − 𝑑′)
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑓𝑥3
3
− (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ⋅
(𝑥 − ℎ𝑓)3
3
+ 𝛼𝑒𝐴𝑠(𝑑 − 𝑥)2 + 𝛼𝑒𝐴𝑠
′ (𝑥 − 𝑑′)2
Linha Neutra - LN
𝑥2 + 2 ⋅ 𝐾 ⋅ 𝑥 − 𝐿 = 0
𝑥 = −𝐾 + 𝐾2 + 𝐿
Armadura Simples – A’s = 0
𝐾 =
1
𝑏𝑤
⋅ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ⋅ ℎ𝑓 + 𝛼𝑒 ⋅ (𝐴𝑠 + 𝐴𝑠
′ )
𝐿 = (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ⋅
ℎ𝑓
2
𝑏𝑤
+
2 ⋅ 𝛼𝑒
𝑏𝑤
⋅ (𝐴𝑠 ⋅ 𝑑 + 𝐴𝑠
′ ⋅ 𝑑′)
𝐾 =
1
𝑏𝑤
⋅ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ⋅ ℎ𝑓 + 𝛼𝑒 ⋅ 𝐴𝑠
𝐿 = (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ⋅
ℎ𝑓
2
𝑏𝑤
+
2 ⋅ 𝛼𝑒
𝑏𝑤
⋅ 𝐴𝑠 ⋅ 𝑑
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑓𝑥3
3
− (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ⋅
(𝑥 − ℎ𝑓)3
3
+ 𝛼𝑒𝐴𝑠(𝑑 − 𝑥)2
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