AOL 3 - Calculo Diferencial

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1. Pergunta 1 
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As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida 
das expressões, tornando-se ferramentas importantes para o estudo do 
Cálculo Diferencial. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da 
regra de derivação da diferença entre funções, analise as afirmativas a 
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. ( ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela 
regra de derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 V, V, F, V. 
Resposta correta 
2. 
 V, F, F, F. 
3. 
 F, F, V, V. 
4. 
 V, F, V, V. 
5. 
 V, V, V, F. 
2. Pergunta 2 
/1 
O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas 
acerca das curvas de funções. 
 
Considerando as funções e g(x)=x³−3 e com base nos seus 
conhecimentos acerca de funções compostas, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual 
a 3/2. 
 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico 
de f(x). 
 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 V, V, V, F. 
2. 
F, F, F, V. 
3. 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
4. 
 V, V, V, F. 
5. 
 V, F, F, V. 
3. Pergunta 3 
/1 
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de 
raio unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por 
exemplo, é a razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos 
dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas 
derivadas é fundamental para o desenvolvimento dos estudos de Cálculo 
Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada 
de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
 
II. ( ) A função f(x)=sen é uma função trigonométrica composta, que pode 
ser derivada pela regra da cadeia. 
 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosx e g(x)=senx são iguais a, 
respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 V, V, F, F. 
Resposta correta 
2. 
 F, F, V, F. 
3. 
 F, F, V, F. 
4. 
 V, F, V, V. 
5. 
 V, V, F, V. 
4. Pergunta 4 
/1 
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria 
da função, algébrica ou não, ou até mesmo por estaren explícitas ou não. 
Entre essas regras de derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa 
função é igual a zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida 
por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I e II. 
2. 
 I e IV. 
Resposta correta 
3. 
 II e IV. 
4. 
 I e III. 
5. 
 III e IV 
5. Pergunta 5 
/1 
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e 
podem ser categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e 
aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco 
cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma 
derivada particular, que seguem as suas propriedades específicas. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das 
trigonométricas inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)= , tem se que 
II. ≠arcsenx. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
 
IV. Dada f(x)= tem-se que 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 II e III. 
2. 
 I e III. 
3. 
 I e IV. 
Resposta correta 
4. 
 II, III e IV. 
5. 
 I e II. 
6. Pergunta 6 
/1 
O estudo dos limites e de suas propriedades tem fundamental importância 
para o Cálculo, pois com esse conceito definimos a noção da derivada de 
uma função em um ponto por meio da aproximação de um intervalo 
infinitesimal em torno desse ponto, analisando sua taxa de variação. 
De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre o 
significado da derivada como limite, seu uso em problemas da reta tangente 
e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A velocidade instantânea de um corpo em movimento uniformemente 
variado em determinado ponto de sua trajetória é sempre igual à sua 
velocidade média. 
II. A reta tangente à curva da função f(x) no ponto P(a,f(a)) tem seu 
coeficiente angular dado pelo limite de [f(x+h)−f(a)]/(x−a) quando x≥a. 
 
III. O limite citado no item II pode ser entendido como uma taxa de variação, 
e no caso de um gráfico de velocidade por tempo, em seus pontos de 
máximo ou mínimo temos que a taxa de variação (aceleração) vale zero. 
 
IV. Em regiões crescentes de um gráfico, a derivada da função é maior que 
zero, e em regiões decrescentes, a derivada da função é negativa. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 II e IV. 
2. 
 II, III e IV. 
Resposta correta 
3. 
 I, e IV. 
4. 
 I, II e III. 
5. 
 II e III. 
7. Pergunta 7 
/1 
O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, 
sendo inclusive feitas substituições de variáveis por variáveis 
trigonométricas em cálculos de integrais muito complexas. Dessa forma, 
conhecer as regras de derivação para funções trigonométricas é essencial 
no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada 
de funções trigonométricas, associe as funções a seguir com suas 
respectivas derivadas. 
 
s(1)(1).png 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 1, 2, 4, 3. 
2. 
 3, 1, 4, 2. 
3. 
 3, 1, 2, 4. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
 1, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
8. Pergunta 8 
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Algumas expressões algébricas não podem ser derivadas pelas regras de 
derivação convencionais, como é o caso das chamadas funções implícitas. 
 
Considerando essas informações, e utilizando seus conhecimentos sobre 
esse tipo de função e suas derivadas, é correto afirmar que a derivada da 
função é: 
 
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9. Pergunta 9 
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O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de 
aplicações que possui na vida real, como em funções que modelam custos 
de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus 
conhecimentos sobre a regra da derivada da potência de base x, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
 
II. Dada uma função , sua derivada é . 
 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da 
função vezes a derivada da constante. 
 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
 
Está correto apenaso que se afirma em: 
 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, II e III. 
2. 
I e IV. 
Resposta correta 
3. 
 I, e IV. 
4. 
 II e IV. 
5. 
II e III. 
10. Pergunta 10 
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Entender a mecânica clássica e como utilizá-la para compreender e modelar 
o dia a dia é um dos trabalhos que realiza o engenheiro. O estudo das 
derivadas é imprescindível para o estudante de engenharia nesse sentido, 
pois com ela o estudo dos movimentos se torna mais significativo. 
Suponha que um objeto se move seguindo a lei horária s(t)=sen(8t)+t−2. 
Somado a isso, sabe-se que a velocidade é determinada pela derivada de 
uma equação horária, e a aceleração é determinada pela derivada da função 
velocidade. 
 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos de derivação, 
analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A função que descreve a velocidade dessa partícula é dada 
por v(t)=8cos(8t)+1. 
 
II. É impossível determinar a derivada da velocidade. 
 
III. A função que descreve a aceleração dessa partícula é a(t)=−64sen(8t). 
 
IV. A função velocidade é uma função polinomial. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, II e IV. 
2. 
 I e III. 
Resposta correta 
3. 
 II e IV. 
4. 
 I, II, III. 
5. 
 II e III.