Matematica TODOS ANOS-627

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365. Problema: Se \(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 6}\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(\mathbb{R} \backslash \{6\}\), pois a função não é 
definida para \(x = 6\). 
 
366. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 6}\). 
 Resposta: Aplicando a substituição direta, obtemos \(\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 
6} = \lim_{x \to 6} (x - 4) = 2\). 
 
367. Problema: Resolva a inequação \(\log_3(x - 2) - \log_3(x - 3) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_3\left(\frac{x - 2}{x - 3}\right) > 1\). Convertendo para forma exponencial, 
temos \(\frac{x - 2}{x - 3} > 3^1 = 3\). Resolvendo esta desigualdade, encontramos \(x \in (3, 
2 + \frac{\sqrt{13}}{3}) \cup (3 + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty)\). 
 
368. Problema: Se \(f(x) = \log_3(x - 2) - \log_3(x - 3)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (3, \infty)\), pois os argumentos dos logaritmos 
devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
369. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 3^+} \log_3(x - 2) - \log_3(x - 3)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(3\) pelo lado direito, \((x - 3)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe. 
 
370. Problema: Resolva a inequação \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 2) > 1\). 
 Resposta: Aplicando a propriedade dos logaritmos, podemos escrever a inequação 
como \(\log_2((x - 1)(x - 2)) > 1\). Convertendo para forma exponencial, temos \((x - 1)(x - 2) 
> 2^1 = 2\). Resolvendo esta desigualdade quadrática, encontramos \(x \in (2 + \sqrt{2}, 
3)\). 
 
371. Problema: Se \(f(x) = \log_2(x - 1) + \log_2(x - 2)\), determine o domínio de \(f(x)\). 
 Resposta: O domínio de \(f(x)\) é \(x \in (2, 3)\), pois os argumentos dos logaritmos 
devem ser positivos e diferentes entre si. 
 
372. Problema: Calcule \(\lim_{x \to 2^+} \log_2(x - 1) + \log_2(x - 2)\). 
 Resposta: Como \(x\) se aproxima de \(2\) pelo lado direito, \((x - 2)\) se aproxima de 
\(0^+\), então o segundo logaritmo se torna \(-\infty\). Logo, o limite não existe.