Lista de exercicios A4

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Lista de exercícios - Aula 4 –Aplicações de Derivadas 
 
Ex 1. O raio de uma esfera está aumentando à taxa de 5mm/s. Qual a 
velocidade de aumento do volume quando o raio da esfera for 50mm? 
Dados: Volume da esfera: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 , adotando 𝜋 = 3,14. 
 
 
Ex 2. Supondo um reservatório de água com formato de um cone 
invertido como mostra a figura. Esse reservatório está sendo 
alimentado à taxa de 3m³/h. Qual a taxa de aumento no seu nível de 
água quando a altura contida no reservatório for de 2 metros? 
Dica: 𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ (fórmula do volume de um cone) 
 
 
 
 
Ex 3. Uma escada está apoiada em uma parede vertical como 
demonstra a figura a seguir. Sabendo-se que o pé da escada está 
escorregando à taxa de 0,5m/s. Qual a taxa de deslizamento do topo 
da escada quando o pé estiver a 3 metros de distância da parede? 
 
 
 
Ex 4. Determine o(s) ponto(s) críticos da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
 
 
Ex 5. Determine o ponto de inflexão da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 
 
 
Ex 6. Um fazendeiro tem 500 m de cerca para envolver um terreno 
retangular. Um celeiro será usado como parte de um lado do campo, 
como mostra a figura. 
Quais as dimensões da maior área cercada considerando que o lado do 
celeiro a ser utilizado seja de 80 m? 
 
 
 
Ex 7. Determinar os extremos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 10𝑥2 + 25𝑥 − 50 e 
classificá-los. 
 
 
Ex 8. Em um zoológico tem-se 600 metros lineares de grade 
disponíveis para construir 6 jaulas conforme figura. Determinar as 
dimensões de cada jaula que maximizam a área cercada para propiciar 
a melhor acomodação para os animais. 
 
 
 
Resoluções 
 
Ex 1. O raio de uma esfera está aumentando à taxa de 5mm/s. Qual a 
velocidade de aumento do volume quando o raio da esfera for 50mm? 
Dados: Volume da esfera: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 , adotando 𝜋 = 3,14. 
Resolução: 
Sendo que: 
𝑅 = 50𝑚𝑚 
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 5𝑚𝑚/𝑠 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=? 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3
 derivando em relação ao tempo: 
𝑑(𝑉)
𝑑𝑡
=
𝑑 (
4
3 𝜋𝑅3)
𝑑𝑡
 
 
𝑑(𝑉)
𝑑𝑡
=
4
3
𝜋
𝑑(𝑅3)
𝑑𝑡
 
 
𝑑(𝑉)
𝑑𝑡
=
4
3
∙ 𝜋 ∙ 3 ∙ 𝑅² ∙
𝑑(𝑅)
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
4
3
∙ 3,14 ∙ 3 ∙ (50)² ∙ 5 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 157.000 𝑚𝑚³/𝑠 
 
Supondo um reservatório de água com formato de um cone invertido 
como mostra a figura. Esse reservatório está sendo alimentado à taxa 
de 3m³/h. Qual a taxa de aumento no seu nível de água quando a 
altura contida no reservatório for de 2 metros? 
Dica: 𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ (fórmula do volume de um cone) 
 
Resolução 
Dados do exercício: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3
𝑚³
ℎ
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=? (ℎ = 2 metros) 
 
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ (fórmula do volume de um cone) 
 
Fazendo uma semelhança entre triângulos: 
6
2
=
ℎ
𝑟
 → 𝑟 =
ℎ
3
 
 
Aplicando na fórmula do volume, 
𝑉 =
1
3
𝜋 (
ℎ
3
)
2
ℎ 
 
𝑉 =
1
27
𝜋ℎ³ 
 
Então, derivando em relação ao tempo: 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑉) =
𝑑
𝑑𝑡
(
1
27
𝜋ℎ³) 
 
Substituindo os dados do exercício: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
1
9
𝜋ℎ²
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
 
3 =
1
9
𝜋2²
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
≅ 2,15𝑚/ℎ 
 
Ex 3. Uma escada está apoiada em uma parede vertical como 
demonstra a figura a seguir. Sabendo-se que o pé da escada está 
escorregando à taxa de 0,5m/s. Qual a taxa de deslizamento do topo 
da escada quando o pé estiver a 3 metros de distância da parede? 
 
 
Resolução 
Dados: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0,5
𝑚
𝑠
 
 
dy
dt
=? (x = 3 metros) 
 
Estabelecendo uma relação entre as incógnitas do exercício: 
Usando teorema de Pitágoras, 
x² + y² = 5² 
x² + y² = 25 
 
Derivando em relação ao tempo, 
d
dt
(x² + y²) =
d
dt
(25) 
d
dt
(x2) +
d
dt
(y²) =
d
dt
(25) 
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0 
 
Substituindo os dados do exercício, 
2 ∙ 3 ∙ 0,5 + 2 ∙ 4 ∙
dy
dt
= 0 
dy
dt
= −0,37m/s 
 
 
Ex 4. Determine o(s) ponto(s) críticos da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
Resolução 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
Derivando, 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 1 
Igualando a zero para se obter os pontos críticos, 
3𝑥2 − 1 = 0 
3𝑥2 = 1 
𝑥2 =
1
3
 
𝑥 = ±√1/3 
sendo assim, 
𝑥1 ≅ −0,5773 
𝑥2 ≅ 0,5773 
 
Calculando a segunda derivada, 
 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 
 
Agora substitui-se os valores dos pontos críticos na derivada segunda: 
 
𝑥1 = −0,5773 → 𝑓"(−0,5773) = 6 ∙ (−0,5773) = −3,4638, portanto ponto de 
máximo. 
 
𝑥2 = 0,57733 → 𝑓"(0,5773) = 6 ∙ (0,5773) = 3,4638, portanto ponto de 
mínimo. 
 
Substituindo os valores de 𝑥1 e 𝑥2 na função original, teremos os 
valores de y que compõe as coordenadas cartesianas dos pontos de 
máximo e mínimo: 
𝑥1 = −0,5773 → 𝑦1 ≅ 0,3849, portanto o ponto de máximo é 
𝑃𝑀á𝑥(−0,5773 ; 0,3849) 
𝑥2 = 0,5773 → 𝑦2 ≅ −0,3849, portanto o ponto de mínimo é 
𝑃𝑀í𝑛(0,5773 ; −0,3849) 
 
Ex 5. Determine o ponto de inflexão da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 
Resolução 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 
Calculando a segunda derivada, 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 2 
Agora igualar a derivada segunda para se obter o ponto de inflexão: 
6𝑥 − 2 = 0 
6𝑥 = 2 
 
𝑥 =
2
6
=
1
3
, substituindo na função original, temos que então 𝑦 = −
20
27
. 
Portanto o ponto de inflexão é I(1/3 , -20/27). 
 
 
Ex 6. Um fazendeiro tem 500 m de cerca para envolver um terreno 
retangular. Um celeiro será usado como parte de um lado do campo, 
como mostra a figura. 
Quais as dimensões da maior área cercada considerando que o lado do 
celeiro a ser utilizado seja de 80 m? 
 
Resolução 
 
 
Ex 7. Determinar os extremos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 10𝑥2 + 25𝑥 − 50 e 
classificá-los. 
Resolução 
 
 
Ex 8. Em um zoológico tem-se 600 metros lineares de grade 
disponíveis para construir 6 jaulas conforme figura. Determinar as 
dimensões de cada jaula que maximizam a área cercada para propiciar 
a melhor acomodação para os animais. 
 
Resolução 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo: Volume 1. 12ª ed. 
São Paulo: Pearson, 2012. Acesso via: Biblioteca Virtual – 
Biblioteca Pearson 
 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006. Acesso via: 
Biblioteca Virtual – Biblioteca Pearson