Matematica todos os anos e idades-106

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67. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \tan(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
68. Problema: Resolva a equação \( \log_3(x) = 4 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 81 \). Explicação: Usamos a definição de logaritmo para 
resolver a equação. 
 
69. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{3x^3 - 2x + 5} 
\). 
 Resposta: O limite é \( 2/3 \). Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^3 \) e 
usamos o fato de que os termos de maior grau dominam quando \( x \) tende ao infinito. 
 
70. Problema: Encontre a integral indefinida de \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \). 
 Resposta: A integral de \( h(x) \) é \( H(x) = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C \), onde \( C \) 
é a constante de integração. Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica. 
 
71. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 + 4)} \). 
 Resposta: O domínio é \( x < -\sqrt{2} \) ou \( x > \sqrt{2} \). Explicação: A função é 
indefinida para valores de \( x \) que fazem com que o argumento do logaritmo natural seja 
negativo ou zero. 
 
72. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\cos(x)} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}} \). Explicação: 
Aplicamos a regra da cadeia e 
 
 a derivada do cosseno. 
 
73. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \). 
 Resposta: O limite é \( 1/2 \). Explicação: Utilizamos a expansão de Taylor para \( \cos(x) 
\) em torno de \( x = 0 \). 
 
74. Problema: Resolva a equação \( e^{2x} = 9 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{\ln(9)}{2} \). Explicação: Aplicamos a função inversa do 
logaritmo natural para encontrar o valor de \( x \).