Problemas de Cálculo

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83. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x + 1}{4x^3 - 5} \). 
 Resposta: O limite é \( 3/4 \). Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^3 \) e 
usamos o fato de que os termos de maior grau dominam quando \( x \) tende ao infinito. 
 
84. Problema: Encontre a integral indefinida de \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} \). 
 Resposta: A integral de \( h(x) \) é \( H(x) = \cosh^{-1}(x/2) + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. Explicação: Utilizamos a substituição hiperbólica. 
 
85. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\ln(x^2 + 1)} \). 
 Resposta: O domínio é \( x \neq 0 \). Explicação: A função é indefinida para \( x = 0 \) 
devido à presença do termo \( \ln(0) \). 
 
86. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). Explicação: Aplicamos a regra da 
cadeia e a derivada do logaritmo natural. 
 
87. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Usamos a definição de \( \tan(x) \) em termos de 
sua série de Taylor centrada em \( x = 0 \). 
 
88. Problema: Resolva a equação \( \log_4(x) = 3 \) para \( x \). 
 Resposta: A solução é \( x = 64 \). Explicação: Usamos a definição de logaritmo para 
resolver a equação. 
 
89. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Dividimos o numerador e o denominador por \( x 
\) e aplicamos a propriedade do limite. 
 
90. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \cos(x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( 
C_1 \) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. Explicação: Usamos o método da solução 
particular mais a solução geral da equação homogênea.