Matematica na pratica (9)

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Explicação: O logaritmo de 27 na base 3 é 3, pois \( 3^3 = 27 \). 
 
234. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\frac{1}{x} \) no intervalo \( [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente 0,017 unidades quadradas. 
 Explicação: Calculamos a integral da função que representa a diferença entre as duas 
curvas no intervalo dado. 
 
235. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \sin^3(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 3\sin^2(x)\cos(x) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar esta função trigonométrica 
composta. 
 
236. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \sin^2(x)\cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{3}\sin^3(x) + C \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica para resolver esta integral. 
 
237. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin^3(x) \). 
 Resposta: Não tem solução em termos de funções elementares. 
 Explicação: Esta equação diferencial não pode ser resolvida usando métodos usuais de 
cálculo. 
 
238. Problema: Determine o valor de \( \log_7(49) \). 
 Resposta: \( \log_7(49) = 2 \). 
 
 
 Explicação: O logaritmo de 49 na base 7 é 2, pois \( 7^2 = 49 \). 
 
239. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\frac{1}{x} \) no intervalo \( [1, \infty] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente 2,859 unidades quadradas. 
 Explicação: Calculamos a integral da função que representa a diferença entre as duas 
curvas no intervalo dado.