Cálculos Matemáticos Básicos

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14. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). Explicação: A integral de \( 
\frac{1}{x} \) de 1 a \( e \) é \( \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
15. Problema: Resolva a equação \( 4^{2x-1} = 16 \). 
 Resposta: A solução é \( x = \frac{3}{2} \). Explicação: Como \( 16 = 4^2 \), temos \( 2x - 1 
= 2 \), então \( x = \frac{3}{2} \). 
 
16. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. Explicação: Dividindo o numerador e o denominador por \( x \) e 
aplicando a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{1} = \sqrt{1 + 0} = 1 \). 
 
17. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
Explicação: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
18. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \frac{1}{1 + x^2} \). 
 Res 
 
posta: A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é \( \arctan(x) + C \), onde \( C \) é uma constante 
de integração. Explicação: Esta é a integral da função tangente inversa. 
 
19. Problema: Resolva a equação \( \sqrt{2x + 3} = 5 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 11 \). Explicação: Elevando ambos os lados ao quadrado, 
obtemos \( 2x + 3 = 25 \), então \( x = 11 \). 
 
20. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). Explicação: Aplicamos as identidades 
trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, o limite pode ser avaliado 
diretamente. 
 
21. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = e^{2x} \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = 2e^{2x} \). Explicação: Derivamos a função 
exponencial utilizando sua própria regra de derivada.