Cálculos Matemáticos Básicos

Prévia do material em texto

Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = -\tan(x) \). Explicação: Utilizamos a regra da 
cadeia e a derivada da função logarítmica. 
 
86. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^1 \frac{x}{1 + x^2} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \frac{1}{2}\ln(2) \). Explicação: Utilizamos a 
substituição \( u = 1 + x^2 \) para simplificar a integral. 
 
87. Problema: Resolva a equação \( 4^{x - 2} = 16 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). Explicação: A equação é equivalente a \( 4^2 = 4^{x - 2} 
\), portanto \( x - 2 = 2 \), então \( x = 3 \). 
 
88. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 1}{4x^3 + 5x + 2} \). 
 Resposta: O limite é 0. Explicação: Ao dividir todos os termos por \( x^3 \) e aplicar a 
regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{3}{4x} - \frac{1}{x^3} + 
\frac{5}{4x^3} + \frac{2}{x^3} \), e todos os termos tendem a zero conforme \( x \) se 
aproxima do infinito. 
 
89. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Explicação: Utilizamos a 
regra da cadeia e a derivada da função logarítmica. 
 
90. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 Resposta: A integral de \( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) é \( -\sqrt{1 - x^2} + C \), onde \( C \) é 
uma constante de integração. Explicação: Utilizamos a substituição \( u = 1 - x^2 \) para 
simplificar a integral. 
 
91. Problema: Resolva a equação \( 2^{x + 1} = 16 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 3 \). Explicação: Dividindo ambos os lados por 2, obtemos \( 
2^{x + 1} = 2^4 \), então \( x + 1 = 4 \), então \( x = 3 \). 
 
92. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2 - x}}{3x + 2} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{3}{2} \). Explicação: Dividindo o numerador e o denominador 
por \( x \) e aplicando a regra do limite para termos de maior grau, obtemos \( \frac{3}{2} \). 
 
93. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{\tan(x)} \).