Matematica todos os anos e idades-809

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54. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\sin(2x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\sin(2x)) = 2\cos(2x) \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada de \( \sin(x) \). 
 
55. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de derivada da tangente em \( x = 0 \). 
 
56. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi} \sin(3x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \sin(3x) \, dx = 0 \). 
 Explicação: A integral de \( \sin(3x) \) em um período completo é zero. 
 
57. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\tan(x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) \). 
 Explicação: Derivamos a função tangente usando a regra do quociente. 
 
58. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x} = 0 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de derivada do cosseno em \( x = 0 \). 
 
59. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi} \cos(3x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \cos(3x) \, dx = 0 \). 
 Explicação: A integral de \( \cos(3x) \) em um período completo é zero. 
 
60. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\sin(4x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\sin(4x)) = 4\cos(4x) \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada de \( \sin(x) \). 
 
61. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). 
 Explicação: Este é um resultado fundamental da trigonometria e cálculo.