Matematica todos os anos e idades-866

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129. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3} = \frac{1}{6} \). 
 Explicação: Este limite é um resultado fundamental da definição do seno. 
 
130. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos a identidade trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) e então 
integramos. 
 
131. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\cos(2x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = -2\sin(2x) \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada de \( \cos(x) \). 
 
132. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de derivada do cosseno em \( x = 0 \). 
 
133. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx = 0 \). 
 Explicação: A integral de \( \cos(x) \) em um período completo é zero. 
 
134. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\sin(2x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\sin(2x)) = 2\cos(2x) \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada de \( \sin(x) \). 
 
135. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de derivada da tangente em \( x = 0 \). 
 
136. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi} \sin(3x) \, dx \).