Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: O limite é \( 0 \). Explicação: Dividimos os termos de maior grau pelos 
mesmos termos nos numeradores e denominadores. 
 
47. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). Explicação: Utilizamos 
a regra do logaritmo natural. 
 
48. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^3 \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente \( 4.367 \) unidades quadradas. Explicação: 
Calculamos as interseções das curvas e integramos a diferença das funções entre esses 
limites. 
 
49. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + y = \sin(2x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{3}\cos(2x) + 
\frac{2}{3}\sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. Explicação: 
Utilizamos o método da solução particular. 
 
50. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Utilizamos a definição da tangente inversa. 
 
51. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{x^3 \sin(x) + 2x\cos(x)}{\cos^2(x)} \). 
Explicação: Utilizamos a regra do quociente e a regra do cosseno. 
 
52. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x + 2}{\sqrt{4 - x^2}}\right) 
+ C \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos substituição 
trigonométrica. 
 
53. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 2xy = e^{x^2} \). 
 Resposta: A solução é \( y = Ce^{x^2} - e^{-x^2} \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. Explicação: Utilizamos o método da solução particular.