AOL 2 - Cálculo Integral

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Módulo C - 63326 . 7 - Cálculo Integral - D.20212.C 
Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - 
Questionário 
10/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma 
reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação 
instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é preferível que, ao 
se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, 
para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais 
indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral 
indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I e IV. 
3. 
II, III e IV. 
4. 
I e III. 
Resposta correta 
5. 
I, III e IV. 
2. Pergunta 2 
/1 
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução 
de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, 
apenas derivando o numerador e o denominador de uma função que é escrita em 
forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos 
seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra 
de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F. 
2. 
F, F, V, V. 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
F, V, F, F. 
5. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
/1 
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas 
acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela 
derivada da função, e a integral da função mensura a área abaixo da curva que a 
descreve. 
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos 
seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos 
estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual 
a 2. 
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas 
retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x). 
III. ( ) h(x) é uma função. 
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
3. 
V, F, V, F. 
4. 
V, V, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
4. Pergunta 4 
/1 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. 
Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta 
constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a 
derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta 
tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área 
sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema 
Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − 
sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão 
obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
I e III. 
4. 
II e III. 
5. 
I e II. 
5. Pergunta 5 
/1 
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos 
que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. 
Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela 
se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma função cosseno. Entender 
esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos 
seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos 
conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é 
igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
2. 
V, F, V, V. 
3. 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
F, F, V, F. 
6. Pergunta 6Crédito total dado 
/1 
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função 
ser o domínio de outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é 
H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe uma regra para derivar esse tipo de 
função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o 
argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = 
f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos 
sobre derivadas de funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = 
−sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III. 
2. 
I e IV. 
Resposta correta 
3. 
II e IV 
4. 
II, III e IV. 
5. 
I e III. 
7. Pergunta 7Crédito total dado 
/1 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser 
categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das 
funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
II e III. 
Resposta correta 
3. 
I e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
I, III e IV. 
8. Pergunta 8 
/1 
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e 
integral são muito úteis para resolvermos uma série de problemas difíceis de 
aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e encontrar a inclinação da reta 
tangente são funções de derivadas e integrais. Saber distingui-las é essencial. 
Com base nos seusconhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos 
estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus 
respectivos significados: 
1. Integral definida. 
2. Limites fundamentais. 
3. Derivada da função no ponto. 
4. Diferencial. 
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente 
conhecido. 
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada. 
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável. 
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 1, 3, 4. 
2. 
1, 2, 4, 3. 
3. 
3, 4, 2, 1. 
4. 
1, 2, 3, 4. 
5. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
/1 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em 
física, é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções 
polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o 
estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros conhecimentos. 
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação 
horária da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento 
S(t). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivação, analise 
as afirmativas a seguir. 
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do 
primeiro grau. 
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x). 
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma 
função do primeiro grau. 
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que 
a aceleração é constante e vale 2m/s². 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II, III. 
2. 
III e IV. 
Resposta correta 
3. 
II, III. 
4. 
II e IV. 
5. 
I, II e IV. 
10. Pergunta 10 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas 
tangentes e taxas de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o 
prosseguimento dos estudos no Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos 
conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos 
simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das 
derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas 
características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
2. 
4, 2, 1, 3. 
3. 
2, 1, 3, 4. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
4, 1, 2, 3