matematica todos-153

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Resposta: O limite é \( 0 \). Explicação: A função logarítmica cresce mais lentamente do 
que qualquer função polinomial. 
 
63. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \). Explicação: Utilizamos a 
definição da tangente inversa. 
 
64. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. Explicação: Calculamos as interseções 
das curvas e integramos a diferença das funções entre esses limites. 
 
65. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). 
 Resposta: A solução é \( y = (C_1 + C_2x)e^x - e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
66. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 2} \). 
 Resposta: O limite é \( 0 \). Explicação: A raiz quadrada cresce mais lentamente do que 
qualquer função polinomial. 
 
67. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \arccos(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). Explicação: 
Utilizamos a definição do arcocosseno. 
 
68. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int e^x \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{2}(e^x(\sin(x) - \cos(x))) + C \), onde \( C \) é 
uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos integração por partes. 
 
69. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \tan(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}\sin(2x) \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
70. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Utilizamos a definição do exponencial.