Problemas de Cálculo

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71. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \). Explicação: 
Utilizamos a regra do logaritmo natural. 
 
72. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \cos^2(x) \) e \( y = 
\sin^2(x) \) no intervalo \( [0, \pi/2] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{4} \) 
 
 unidades quadradas. Explicação: Calculamos as interseções das curvas e integramos a 
diferença das funções entre esses limites. 
 
73. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: A solução é \( y = (C_1 + C_2x)e^x - e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
74. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 0 \). Explicação: Utilizamos o limite fundamental da 
trigonometria. 
 
75. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \arctan(\frac{1}{x}) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = -\frac{1}{x^2 + 1} \). Explicação: Utilizamos a 
definição da tangente inversa. 
 
76. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{\cos(x)}{x^2} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\frac{\cos(x)}{x} - \int \frac{\sin(x)}{x} \, dx + C \), onde 
\( C \) é uma constante arbitrária. Explicação: Utilizamos integração por partes. 
 
77. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = x\tan(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = Ce^{-x} + x\ln|\cos(x)| \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. Explicação: Utilizamos o método da solução particular. 
 
78. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Explicação: Utilizamos a definição do exponencial.