Geometria: Áreas e Perímetros

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27. Problema: Encontre a área de um pentágono regular inscrito em uma circunferência 
de raio \(4\) cm. 
 Resposta: A área é aproximadamente \(6,88\) cm². Explicação: A área de um pentágono 
regular inscrito em uma circunferência de raio \(r\) pode ser calculada utilizando a 
fórmula \(A = \frac{5}{2} \times r^2 \times \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)\). Substituindo, 
temos \(A = \frac{5}{2} \times 4^2 \times \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) \approx 6,88\) cm². 
 
28. Problema: Calcule o perímetro de um triângulo retângulo com hipotenusa \(8\) cm e 
um cateto \(6\) cm. 
 Resposta: O perímetro é \(24\) cm. Explicação: Se um cateto é \(6\) cm e a hipotenusa é 
\(8\) cm, então o outro cateto é \(4\) cm pelo Teorema de Pitágoras (\(6^2 + x^2 = 8^2\), \(x 
= \sqrt{64 - 36} = 4\) cm). Portanto, o perímetro é \(6 + 4 + 8 = 24\) cm. 
 
29. Problema: Determine a área de um trapézio isósceles com bases de comprimento 
\(10\) cm e \(16\) cm, e altura \(12\) cm. 
 Resposta: A área é \(156\) cm². Explicação: A área de um trapézio é dada pela média das 
bases multiplicada pela altura, ou seja, \(A = \frac{1}{2} \times (10 + 16) \times 12 = 156\) 
cm². 
 
30. Problema: Encontre o perímetro de um losango com diagonais de comprimento \(18\) 
cm e \(24\) cm. 
 Resposta: O perímetro é \(84\) cm. Explicação: As diagonais de um losango se cruzam 
perpendicularmente e dividem o losango em quatro triângulos congruentes. Portanto, 
cada lado do losango é metade da soma das duas diagonais, ou seja, \(\frac{18 + 24}{2} = 
21\) cm. O perímetro é então \(4 \times 21 = 84\) cm. 
 
31. Problema: Calcule a área de um triângulo com lados de comprimento \(3\) cm, \(4\) 
cm e \(5\) cm. 
 Resposta: A área é \(6\) cm². Explicação: Utilizando a fórmula de Herão, onde \(s\) é o 
semiperímetro (\(s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6\)) e \(a\), \(b\), \(c\) são os lados do triângulo, a 
área pode ser calculada como \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Substituindo, obtemos \(A = 
\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6*3*2*1} = 6\) cm². 
 
32. Problema: Determine o perímetro de um quadrado com área \(64\) cm². 
 Resposta: O perímetro é \(32\) cm. Explicação: Se a área de um quadrado é \(64\) cm², 
então o lado é \(\sqrt{64} = 8\) cm. Como todos os lados de um quadrado são iguais, o 
perímetro é \(4 \times 8 = 32\) cm.