Exercicios de matematica -(66)

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67. Problema: Implemente o método de Newton para encontrar a raiz de \( f(x) = x^3 - 3x + 
1 \) com precisão de \(10^{-4}\). 
 Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 1.3247 \). 
 
68. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx \) utilizando a regra dos 
trapézios com 6 segmentos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 0.7854 \). 
 
69. Problema: Determine a solução aproximada para \( x \) em \( \sin(x) = 0.5x \) utilizando 
o método da falsa posição com intervalo \( [1,2] \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( x \approx 1.8955 \). 
 
70. Problema: Utilize a interpolação polinomial de Lagrange para encontrar o polinômio 
interpolador dos pontos \( (-2,-3) \), \( (-1,0) \), \( (1,0) \) e \( (2,3) \). 
 Resposta: O polinômio interpolador é \( P(x) = \frac{3x^3 - 3x}{4} \). 
 
71. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' = e^x \) utilizando o método de Euler com 
\( y(0) = 1 \) e \( h = 0.1 \). 
 Resposta: A solução aproximada em \( x = 1 \) é \( y \approx 2.8598 \). 
 
72. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{3} e^{-x} dx \) utilizando a regra de Simpson 
com 8 intervalos. 
 Resposta: A integral aproximada é \( \approx 0.9502 \). 
 
73. Problema: Determine a raiz de \( f(x) = x^3 - 2x - 5 \) utilizando o método de Newton-
Raphson com aproximação inicial \( x_0 = 2 \). 
 Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 2.0946 \). 
 
74. Problema: Utilize o método de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver a equação 
diferencial \( y'' = -y \) com \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \) em \( x = 3 \). 
 Resposta: A solução aproximada é \( y \approx 0.1661 \). 
 
75. Problema: Implemente o método de Newton para encontrar a raiz de \( f(x) = x^3 - 6x + 
1 \) com precisão de \(10^{-4}\). 
 Resposta: A raiz aproximada é \( x \approx 1.3499 \). 
 
76. Problema: Calcule a integral \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{1+x^2} \) utilizando a regra do 
ponto médio com 6 subintervalos.