Problemas de Combinatória

Prévia do material em texto

23. Problema: Quantas maneiras diferentes existem para distribuir 15 livros em 5 prateleiras 
distintas? 
 Resposta: Existem \( \binom{15+5-1}{5-1} = \binom{19}{4} = 3876 \) maneiras diferentes. 
 Explicação: Usando o conceito de "stars and bars" novamente, aqui temos 15 livros e 5 
prateleiras, então usamos 15 estrelas e 4 barras para separar as prateleiras. 
 
24. Problema: Quantos números de 6 dígitos podem ser formados usando os algarismos 0, 
1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repetição? 
 Resposta: Existem \( 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 5040 \) números de 6 
dígitos. 
 Explicação: Seguindo o padrão dos problemas anteriores, para cada dígito, temos um 
número menor de opções. 
 
25. Problema: Qual é a cardinalidade da interseção de dois conjuntos disjuntos com 10 e 20 
elementos, respectivamente? 
 Resposta: A cardinalidade da interseção é 0. 
 Explicação: Como os conjuntos são disjuntos, eles não têm elementos em comum, então 
a interseção é vazia. 
 
26. Problema: Quantos subconjuntos não vazios podem ser formados a partir de um 
conjunto com 9 elementos? 
 Resposta: Existem \( 2^9 - 1 = 511 \) subconjuntos não vazios. 
 Explicação: Seguindo o mesmo raciocínio dos problemas anteriores com subconjuntos, há 
\( 2^9 \) subconjuntos possíveis, incluindo o conjunto vazio, então subtraímos 1 para 
encontrar o número de subconjuntos não vazios. 
 
27. Problema: Quantos números de 5 dígitos podem ser formados usando os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repetição? 
 Resposta: Existem \( 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520 \) números de 5 dígitos. 
 Explicação: Da mesma forma que nos problemas anteriores 
 
, para cada dígito, temos um número menor de opções. 
 
28. Problema: Qual é o número de permutações de 8 objetos, onde 4 são idênticos? 
 Resposta: Existem \( \frac{8!}{4!} = 1680 \) permutações. 
 Explicação: Como quatro objetos são idênticos, precisamos dividir o número total de 
permutações (que seria \( 8! \)) pelo fatorial do número de objetos idênticos, que é 4. 
 
29. Problema: Quantos subconjuntos não vazios podem ser formados a partir de um 
conjunto com 10 elementos?