Cálculo de Derivadas e Integrais

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39. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sqrt{2x^2 + 3x + 1} \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{4x + 3}{2\sqrt{2x^2 + 3x + 1}} \). 
 Explicação: A derivada de \( \sqrt{2x^2 + 3x + 1} \) é \( \frac{4x + 3}{2\sqrt{2x^2 + 3x + 
1}} \) usando a regra da cadeia. 
 
40. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = e^{-x} \) de 0 a 1. 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^0) = -
\frac{1}{e} - (-1) = 1 - \frac{1}{e} \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
41. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(2x + 3) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2}{2x + 3} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(2x + 3) \) é \( \frac{2}{2x + 3} \) usando a regra da cadeia. 
 
 
 
42. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 3}} \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{\sqrt{2x + 3}} \, dx = 2\sqrt{2x + 3} + C \). 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{\sqrt{2x + 3}} \) é \( 2\sqrt{2x + 3} \) mais a constante 
de integração \( C \). 
 
43. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sin(3x) \). 
 Resposta: \( h'(x) = 3\cos(3x) \). 
 Explicação: A derivada de \( \sin(3x) \) é \( 3\cos(3x) \), aplicando a regra da cadeia. 
 
44. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) de 1 a 4. 
 Resposta: \( \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 
4 - 2 = 2 \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
45. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(2x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\sec^2(2x) \). 
 Explicação: A derivada de \( \tan(2x) \) é \( 2\sec^2(2x) \), aplicando a regra da cadeia. 
 
46. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = e^{-3x} \).