Variáveis Aleatórias Discretas

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A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades
associadas aos possíveis valores de X.
Como axioma, temos que a probabilidade pode assumir valores 0 ou maiores que 0 e que a soma de
todas as probabilidades será sempre 1.
Assim temos que a pX(x) é chamada de função massa de probabilidade.
VARIÁVEIS ALEATÓRIASVARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Por: Vitória Lima
O que é?
Uma função que mapeia os resultados de um processo estocástico em valores numéricos, onde X é
variável aleatória que traduz todos os resultados do experimento em um número x. 
P(X=x)
Variável Aleatória Discreta
São aquelas que o resultado é consequência de contagens. Ex: n° de filhos, n° de sucessos em n
tentativas...
Variável Aleatória Contínuas
São aquelas que o resultado é consequência de mensuração. Ex: Massa (kg) do objeto, altura(m) do
indivíduo, idade...
Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta
O valor esperado é uma outra função, ou seja, uma forma de calcular a média dos valores da v.a.
ponderada pelas suas probabilidades.
 Propriedades do Valor Esperado1.
E [ c ] = c
E [ c X ] = c E [ X ]
E [ X ± Y ] = E [ X ] ± E [ Y ]
E [ X ± c ] = E [ X ] ± E [ c ] = E [ X ] ± c
VARIÁVEIS ALEATÓRIASVARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Por: Vitória Lima
Variância de uma Variável Aleatória Discreta
Podemos dizer que a variância é um valor esperado porém dos desvios quadráticos de uma v.a., o
que se espera a longo prazo dos desvios em relação à sua média.
V ( X ) =σ^ 2 = ∑ i ( x i − μ ) ^ 2⋅p X ( x i )
V ( X ) =σ^ 2 = E [ ( X − E [ X ] ) ^ 2 ]
V ( X ) =σ^ 2 = E [ X ^ 2 ] − ( E [ X ] ) ^ 2
 Propriedades da Variância 1.
V [ c ] = 0
V[cX]=c^2 * V[X]
V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2COV(X,Y)
V[X−Y]=V[X]+V[Y]−2COV(X,Y)
V[X+Y]=V[X]+V[Y]
V[X−Y]=V[X]+V[Y]
COV(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]
COV(X,Y)=COV(Y,X) simetria
COV(X,X)=V(X)
V[X+Y]=E[X+Y]^2−(E[X+Y])^2
V[X+Y]=E[X^2+2XY+Y2]−(E[X]+E[Y])^2
V[X+Y]=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]−{(E[X])^2+2E[X]E[Y]+(E[Y])^2}
V[X+Y]= E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]−(E[X])^2−2E[X]E[Y]−(E[Y])^2
X ~ Binomial (n, p)
Repetição de n experimentos independentes de Bernoulli, cada um com
probabilidade p de sucesso.
X é o número de sucesso em n repetições. X = 0, 1, 2, ... , n.
 PMF: 
E(X) = n*p
Var(X) = n*p * (1 - p)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Por: Vitória Lima
Distribuição de Bernoulli
Distribuição de Binomial
X ~ Bernoulli
0 ou 1
A probabilidade de sucesso p é constante
 PMF: 
P(X=0) = 1 - p
P(X=1) = 1
E(X) = p
Var(X) = p * (1 - p)
Distribuição de Geométrica
X ~ Geométrica (p)
Repetição de experimentos independentes de Bernoulli, cada um com
probabilidade p de sucesso, até se observar o primeiro sucesso.
X é o número de sucesso em n repetições. X = 1, 2, ... , n.
 PMF: 
E(X) = 1/p
Var(X) =
Lembrando que:
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Por: Vitória Lima
Distribuição Hipergeométrica
X ~ Hipergeométrica (N, K, n)
Suponha uma população com um número finito de elementos (N).
K itens da população apresentam uma determinada característica.
Uma amostra de n elementos é selecionada, sem reposição, da população.
A variável aleatória X é o número de elementos na amostra com característica
de interesse.
X = max( 0, n + K - N), ... , min( n, K)
 PMF: 
E(X) = n * (K/N)
Var(X) = 
Distribuição de Poisson
X ~ Poisson (λ); é o número de ocorrências em uma determinada unidade
(tempo, comprimento, volume);
λ é a média do número de ocorrências por unidade; é constante;
Emerge quando o número de repetições de Bernoulli em um experimento
Binomial tende a infinito `a medida que a probabilidade de sucesso decresce, a
fim de manter fixa a média da variável aleatória Binomial (λ = n*p).
 PMF: 
E(X) = Var(X) = λ