Cálculos de Integrais e Derivadas

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72. Problema: Determine a integral definida de \( h(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^4}} \) no 
intervalo \([0, \frac{\sqrt{2}}{2}]\). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^4}} \, dx = 
[\frac{1}{3}\arcsin(x^2)]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{12} \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica \( u = x^2 \) para integrar. 
 
73. Problema: Calcule a integral indefinida de \( f(x) = \frac{x\ln(x)}{\sqrt{1 + x^2}} \). 
 Resposta: \( \int f(x) \, dx = (1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição \( u = 1 + x^2 \) para integrar. 
 
74. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \arcsin(\ln(x)) \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{1}{x\sqrt{1 - (\ln(x))^2}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a regra da derivada do arco seno. 
 
75. Problema: Determine a integral definida de \( h(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}} \) no 
intervalo \([1, e]\). 
 Resposta: \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = [\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})]_{1}^{e} = 
\ln(1 + \sqrt{2}) \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição \( u = x^2 + 1 \) para integrar. 
 
76. Problema: Calcule a integral indefinida de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \cos(x)}} \). 
 Resposta: \( \int f(x) \, dx = -2\sqrt{1 - \cos(x)} + C \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica \( u = 1 - \cos(x) \) para integrar. 
 
77. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \arccos(\sqrt{x}) \). 
 Resposta: \( g'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a regra da derivada do arco cosseno. 
 
78. Problema: Determine a integral definida de \( h(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^6}} \) no 
intervalo \([0, 1]\). 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^6}} \, dx = [\frac{1}{2}\arcsin(x^3)]_{0}^{1} = 
\frac{\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica \( u = x^3 \) para integrar.