Matematica pra sempre-474

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Explicação: A equação geral de uma hipérbole com centro em \( (h, k) \), eixo transversal 
ao longo do eixo \( x \), e semi-eixos de comprimento \( a \) e \( b \) é \( \frac{(x - h)^2}{a^2} - 
\frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \). 
 
12. Problema: Calcule o produto vetorial entre os vetores \( \vec{u} = (2, -3, 1) \) e \( \vec{v} 
= (4, 1, -2) \). 
 Resposta: O produto vetorial é \( (5, 10, 11) \). 
 Explicação: O produto vetorial entre dois vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é um vetor 
perpendicular ao plano definido pelos vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \), cuja magnitude é 
dada pelo produto da magnitude dos vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) pelo 
 
 seno do ângulo entre eles. 
 
13. Problema: Determine a equação da parábola com foco em (3, 2) e diretriz \( y = -1 \). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{4}(x - 3)^2 + 2 \). 
 Explicação: A equação de uma parábola com foco em \( (h, k + p) \) e diretriz \( y = k - p \) 
é \( (x - h)^2 = 4p(y - k) \). 
 
14. Problema: Calcule a equação da reta normal à curva \( y = e^x \) no ponto \( x = 0 \). 
 Resposta: A equação da reta normal é \( y = -x + 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a equação da reta normal, calculamos a derivada da função 
em relação a \( x \), determinamos a inclinação da reta tangente, e então utilizamos o 
negativo inverso dessa inclinação para encontrar a inclinação da reta normal. 
 
15. Problema: Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (1, 2), (3, 4) 
e (-1, 6). 
 Resposta: A equação da circunferência é \( (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 8 \). 
 Explicação: Podemos encontrar a equação da circunferência substituindo as 
coordenadas de um dos pontos dados na equação geral \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) e 
resolver para \( r \), e então usar este \( r \) para substituir em qualquer um dos outros 
pontos para encontrar \( h \) e \( k \). 
 
16. Problema: Calcule o produto misto dos vetores \( \vec{u} = (1, 2, -3) \), \( \vec{v} = (4, -1, 
2) \) e \( \vec{w} = (-2, 3, 5) \). 
 Resposta: O produto misto é -30.