Matematica pra sempre-475

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Explicação: O produto misto dos vetores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \) é dado 
pelo determinante da matriz formada pelos vetores. 
 
17. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 
x^2 \). 
 Resposta: A área da região é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções ao 
longo do intervalo de interesse. 
 
18. Problema: Determine a equação da elipse com focos em \( (-1, 1) \) e \( (3, 1) \), e cuja 
soma dos eixos principais é 10. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x - 1)^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \). 
 Explicação: A equação de uma elipse com focos \( (h \pm c, k) \) e soma dos eixos 
principais \( 2a \) é \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \). 
 
19. Problema: Determine o vetor normal ao plano que passa pelos pontos (1, 2, -1), (3, -1, 
2) e (-2, 4, 0). 
 Resposta: Um vetor normal ao plano é \( (-7, -11, -9) \). 
 Explicação: Podemos encontrar o vetor normal ao plano encontrando o produto vetorial 
dos vetores diretores do plano. 
 
20. Problema: Calcule a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e é perpendicular 
ao vetor \( \vec{n} = (2, -1, 3) \). 
 Resposta: A equação da reta é \( x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + 3t \). 
 Explicação: Uma reta perpendicular a um vetor \( \vec{n} \) e que passa por um ponto \( 
(x_0, y_0, z_0) \) pode ser parametrizada por \( x = x_0 + a t \), \( y = y_0 + b t \) e \( z = z_0 + c 
t \), onde \( (a, b, c) \) é o vetor \( \vec{n} \). 
 
21. Problema: Determine a distância entre o ponto (1, -2, 3) e o plano \( 2x - y + z = 5 \). 
 Resposta: A distância é \( \frac{7}{\sqrt{6}} \) unidades. 
 Explicação: A distância entre um ponto \( (x_0, y_0, z_0) \) e um plano \( ax + by + cz = d \) 
é dada por \( \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \). 
 
22. Problema: Calcule o volume do paralelepípedo com arestas adjacentes formadas 
pelos vetores \( \vec{u} = (1, 2, -1) \), \( \vec{v} = (3, -1, 2) \) e \( \vec{w} = (2, 4, 3) \).