Problemas de Cálculo

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40. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 0. 
 Explicação: Utilizamos a propriedade do limite fundamental do logaritmo. 
 
41. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \sin(3x) \ 
 
). 
 Resposta: \( f'(x) = 3\cos(3x) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função trigonométrica 
composta. 
 
42. Problema: Resolva a equação \( e^{3x} = 5 \). 
 Resposta: \( x = \frac{\ln(5)}{3} \). 
 Explicação: Utilizamos a definição de logaritmo para resolver a equação. 
 
43. Problema: Encontre a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{1 + x^2} \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Utilizamos a regra de integração para a função \( \frac{1}{1 + x^2} \). 
 
44. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{\ln(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)} \cdot x} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função raiz quadrada composta. 
 
45. Problema: Encontre a integral definida de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) de 0 a 1. 
 Resposta: \( \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos a definição de integral definida e avaliamos nos limites de 
integração. 
 
46. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Utilizamos a propriedade do limite fundamental da tangente.