Matematica todos os anos (140)

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Resposta: Não há assíntotas verticais. 
 Explicação: A função não possui raízes no denominador, então não há valores de \( x \) 
para os quais a função se torne indefinida. 
 
78. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = (C_1 + C_2x)e^{-x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrarias. 
 Explicação: A equação característica associada é \( r^2 + 2r + 1 = 0 \), que tem uma raiz 
dupla \( r = -1 \), então a solução geral é da forma \( y = (C_1 + C_2x)e^{-x} \). 
 
79. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} e^x \, dx \). 
 Resposta: O valor da integral é \( e - 1 \). 
 Explicação: Integramos a função \( e^x \) entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \) para encontrar a área 
sob a curva. 
 
80. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = e^x \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: A área é \( e - \frac{1}{4} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Subtraímos as duas funções e integramos o resultado entre \( x = 0 \) e \( x = 
1 \) para encontrar a área. 
 
81. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar \( \ln(x^2 + 1) \). 
 
82. Problema: Resolva a equação \( \log_2(x + 1) = 3 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 7 \). 
 Explicação: Convertemos a equação logarítmica para forma exponencial e resolvemos 
para \( x \). 
 
83. Problema: Encontre a interseção da reta \( y = -2x + 5 \) com o eixo \( y \). 
 Resposta: A interseção é o ponto \( (0, 5) \). 
 Explicação: Quando \( x = 0 \), \( y = -2(0) + 5 = 5 \), então a reta intercepta o eixo \( y \) em 
\( (0, 5) \).