Treinando a matematica-127

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13. Problema: Encontre a equação da hipérbole com centro em (3, -1), eixo transverso de 
comprimento 10 e eixo conjugado de comprimento 8. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{(x-3)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula padrão da equação da hipérbole e os comprimentos 
dos eixos para encontrar a equação. 
 
14. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\) e \(y = x^2\) entre 
\(x = 0\) e \(x = 1\). 
 Resposta: A área é aproximadamente 1.859 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
15. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \(y = \ln(x)\) no ponto 
 
 (1, 0). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a derivada da função para encontrar a inclinação da reta 
tangente e a equação da reta. 
 
16. Problema: Encontre a área da região limitada pela curva \(y = x^3\), o eixo x e as retas 
\(x = 1\) e \(x = 2\). 
 Resposta: A área é \( \frac{15}{4} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
17. Problema: Determine a equação da reta normal à curva \(y = \sin(x)\) no ponto \(x = 
\frac{\pi}{2}\). 
 Resposta: A equação da reta normal é \( y = -x + \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos a derivada da função para encontrar a inclinação da reta normal 
e a equação da reta. 
 
18. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = \sqrt{x}\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 1\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{\pi}{10} \) unidades cúbicas.