Treinando a matematica-133

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Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
48. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = \cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x 
= \pi\). 
 Resposta: A área é 2 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
49. Problema: Determine a equação da elipse com centro em \( (3, -1) \) e focos em \( (3, 
2) \) e \( (3, -4) \). 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x-3)^2}{10} + \frac{(y+1)^2}{12} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e a distância entre os focos para encontrar 
a equação. 
 
50. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = \sin(x)\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = \pi\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( 2\pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
51. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\) e \(y = x\) entre \(x 
= 0\) e \(x = 1\). 
 Resposta: A área é \( e - \frac{1}{2} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
52. Problema: Determine a equação da parábola com vértice em (2, -3) e foco em (2, -1). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 - 3 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e o 
foco. 
 
53. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = \sqrt{x}\) entre \(x = 0\) e 
\(x = 4\).