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Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a diretriz. 48. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = \cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x = \pi\). Resposta: A área é 2 unidades quadradas. Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a curva. 49. Problema: Determine a equação da elipse com centro em \( (3, -1) \) e focos em \( (3, 2) \) e \( (3, -4) \). Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x-3)^2}{10} + \frac{(y+1)^2}{12} = 1 \). Explicação: Utilizamos a definição da elipse e a distância entre os focos para encontrar a equação. 50. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva \(y = \sin(x)\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = \pi\) em torno do eixo y. Resposta: O volume é \( 2\pi \) unidades cúbicas. Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de revolução. 51. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\) e \(y = x\) entre \(x = 0\) e \(x = 1\). Resposta: A área é \( e - \frac{1}{2} \) unidades quadradas. Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as duas curvas. 52. Problema: Determine a equação da parábola com vértice em (2, -3) e foco em (2, -1). Resposta: A equação da parábola é \( y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 - 3 \). Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e o foco. 53. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = \sqrt{x}\) entre \(x = 0\) e \(x = 4\).