Problemas de Cálculo e Geometria

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Resposta: O volume é \( \frac{16}{3} \pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
71. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) 
entre \(x = 0\) e \(x = \pi\). 
 Resposta: A área é 2 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
72. Problema: Determine a equação da parábola com vértice em (-1, 2) e diretriz \(y = 4\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( x = -\frac{1}{8}(y-2)^2 - 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o vértice e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
73. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = e^x\) entre \(x = 0\) e \(x = 
\ln(2)\). 
 Resposta: A área é \( e^{\ln(2)} - 1 = 2 - 1 = 1 \) unidade quadrada. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
74. Problema: Determine a equação da elipse com focos em \( (-3, 0) \) e \( (3, 0) \) e eixo 
menor de comprimento 6. 
 Resposta: 
 
 A equação da elipse é \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e o comprimento do eixo menor para 
encontrar a equação. 
 
75. Problema: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \(y = \cos(x)\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = \pi\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( 2\pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução.