Exercicio de matematica-138

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49. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 3 \). Isso é um resultado fundamental em cálculo. 
 
50. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). Usamos a regra da cadeia e a 
derivada do logaritmo natural. 
 
51. Problema: Determine a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \). 
 Resposta: A integral é \( \tan(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 
52. Problema: Resolva a equação \( \sqrt{x + 3} = 2 \). 
 Resposta: \( x = 1 \). Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a 
raiz quadrada. 
 
53. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a inequação \( 2x^2 + 5x + 3 < 
0 \). 
 Resposta: A solução é \( -3 < x < -1 \). Encontramos os intervalos onde a parábola é 
negativa. 
 
54. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2 + 1}{3x^3 - 4x} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{5}{3} \). Podemos simplificar a expressão dividindo todos os 
termos por \( x^3 \). 
 
55. Problema: Encontre a derivada de \( y = \frac{\sin^2(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = \frac{2x\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x)}{x^2} \). Usamos a regra do 
quociente e a derivada do seno. 
 
56. Problema: Determine a área entre as curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = 1 - x^2 \) no 
intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente \( 1.227 \). Calculamos a diferença entre as 
integrais das duas funções no intervalo dado. 
 
57. Problema: Resolva a equação \( 3^{2x} = 9 \). 
 Resposta: \( x = \frac{1}{2} \). Aplicamos logaritmos para encontrar o valor de \( x \).