Exercicio de matematica-141

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75. Problema: Encontre a derivada de \( y = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( y' = \frac{x\sin(x) - \cos(x)}{x^2} \). Usamos a regra do quociente 
e a derivada do cosseno. 
 
76. Problema: Determine a área entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) no intervalo 
\( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente \( 0.464 \). Calculamos a diferença entre as 
integrais das duas funções no intervalo dado. 
 
77. Problema: Resolva a equação \( 4^x = 64 \). 
 Resposta: \( x = 3 \). Aplicamos logaritmos para encontrar o valor de \( x \). 
 
78. Problema: Determine a solução para a inequação \( 3x^3 - 2x^2 - 5x > 0 \). 
 Resposta: A solução é \( x < -1 \) ou \( 0 < x < \frac{5}{3} \). Encontramos os intervalos 
onde a função é positiva. 
 
79. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{2x} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{1}{2} \). Podemos simplificar a expressão dividindo todos os 
termos por \( x \). 
 
80. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(3x) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{1}{x} \). Usamos a regra da cadeia. 
 
81. Problema: Determine a integral indefinida de \( g(x) = \sin^2(x) \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. 
 
82. Problema: Resolva a equação \( \log_4(x) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 16 \). Aplicamos a definição de logaritmo. 
 
83. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a inequação \( 2x^2 - x - 3 > 0 
\). 
 Resposta: A solução é \( x < -\frac{1}{2} \) ou \( x > \frac{3}{2} \). Encontramos os 
intervalos onde a parábola é positiva.