teorema de Pitágoras

Prévia do material em texto

36 2.3. Demonstrações Contemporâneas
Figura 2.16: Diagrama de Barry Sutton
A demonstração é feita da seguinte forma:
• Passo 1: Consideramos o triângulo △ABC, retângulo em C, denotamos
AB = c, AC = b, BC = a e tomamos os pontos D e E na reta determinada
por AB tais que AD = AE = b, D esteja entre A e B e A esteja entre D e
E.
• Passo 2: Construindo um circulo de centro A e raio b, teremos C no círculo
e o ângulo DĈE subtende o diâmetro e, portanto, DĈE = 90◦.
• Passo 3: Observamos que os ângulos BĈD e AĈE são congruentes.
• Passo 4: Por construção, o triângulo △ACE é isósceles, com CÊA ≡ AĈE.
• Passo 5: Assim, os triângulos △DBC e △EBC possuem o ângulo comum
DB̂C e os ângulos BĈD e BÊC são congruentes. Portanto, triângulos
△DBC e △EBC são semelhantes.
Logo,
BC
BE
=
BD
BC
⇐⇒ a
(c+ b)
=
(c− b)
a
⇐⇒ a2 = c2 − b2 ⇐⇒ a2 + b2 = c2.
2.3.4 Por Jack Oliver
Esta prova é devido a Jack Oliver [10], e foi originalmente publicada na revista
The Mathematical Gazette, p 117-118, v. 81, Março de 1997.
Esquema da prova de Jack Oliver:
• Passo 1: A área do triângulo pode ser calculada por rp, onde r é o raio da
circunferência inscrita no triângulo e p =
(a+ b+ c)
2
é o semiperímetro do
triângulo.
37 2.3. Demonstrações Contemporâneas
• Passo 2: No diagrama, visualizado na 2.17, obtemos as medidas: a hipote-
nusa é c = (a− r) + (b− r) e r = p− c.
Figura 2.17: Diagrama de Jack Oliver
Assim, área do triângulo é calculada das duas formas seguintes:
p · (p− c) =
ab
2
⇐⇒ (a+ b+ c) · (a+ b− c) = 2ab
⇐⇒ (a+ b)2 − c2 = 2ab ⇐⇒ a2 + b2 = c2.
É interessante observar que uma demonstração idêntica apareceu em uma
edição da revista polonesa Sladami Pitagorasa, de 1988, por Szczepan Jelenski :
Figura 2.18: Edição polonesa que apareceu uma demonstração idêntica a de Jack
Oliver