Gabarito_MatemáticaII_Módulo12_8ano

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SITUAÇÃO-PROBLEMA
Vamos supor que três irmãs construíram suas casas em um terreno deixado de herança por sua 
avó. As distâncias entre as casas são iguais a 500 m, 500 m e 300 m, respectivamente. A escassez de 
água durante a seca motivou as irmãs a construir um poço, de modo que ele fosse equidistante das 
suas residências. Qual é o ponto mais adequado do triângulo em que o poço deve ser construído?
Resolução
O lugar geométrico que é equidistante dos três vértices de um triângulo é o circuncentro.
PRATICANDO O APRENDIZADO
1 (IFSP) As medidas dos ângulos de um triângulo são, res-
pectivamente, x, 8x e 9x. Diante do exposto, determine 
o valor de x.
x 5 10°
2 Os três ângulos de um triângulo têm medidas dadas 
pelas expressões 5x 2 40°, 2x 1 20° e 3x. Verifique se 
esse triângulo é equilátero. 
É equilátero.
3 Utilizando a desigualdade triangular, podemos determinar 
as condições para que um triângulo exista. Com base na 
desigualdade triangular, diga se existe um triângulo cujos 
lados são 9 cm, 4 cm e 5 cm.
Não existe, pois, em um triângulo, cada lado deve ser maior que a 
diferença dos outros dois e, ao mesmo tempo, menor que a soma 
deles. O que não ocorre com 9, 4 e 5, já que 9 5 4 1 5.
4 Determine os lados do triângulo da figura sabendo que 
ele tem 60 cm de perímetro.
x 1 3 
x 2 7 
A
B
C
x 2 2 
Os lados do triângulo valem 15 cm, 20 cm e 25 cm.
5 (Unirio-RJ – Adaptada)
 Na figura ao lado, o triângulo 
ABD é equilátero, e seu lado 
mede 6 m; H é o ortocen-
tro, sendo F e G os pontos 
médios dos lados AD e BD, 
respectivamente. Sabe-se 
que ABCE é um retângulo 
em que BC • 5 m. Quantos 
rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, 
para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo 
possui 2 m de fita?
25 rolos.
6 (Cefet -SC) Num triângulo isósceles, cada ângulo da 
base mede o dobro da medida do ângulo do vértice. De-
termine a medida do ângulo do vértice.
36°
A
E
B
CD
H
F G
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7 (UFF-RJ – Adaptada) Um pedaço de papel tem a forma 
do triângulo equilátero PQR, com 9 cm de lado, sendo 
M o ponto médio do lado PR.
 M
Q
P R Q ; MP
S T
R
 Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coin-
cidam e formem 3 triângulos equiláteros congruentes, 
conforme ilustrado acima.
 Qual é o perímetro, em cm, do quadrilátero PSTR?
O perímetro é 22,5 cm.
8 Um triângulo ABC é retângulo em A. A altura AH forma 
com a mediana AM um ângulo de 28°. Calcule os ângulos 
agudos do triângulo ABC.
 H
A
H BAM 5 28°
B CM
m(A BBC) 5 59º e m(ABCB) 5 31º.
9 Determine o ângulo formado por duas medianas de um 
triângulo equilátero. 
120°
10 Calcule x.
 
x
130°
40°
x 5 170°
11 (Unip-SP) As retas r, s e t são duas a duas paralelas, e 
o triângulo EFG é equilátero.
 
A D
r
s
t
EB
C F G
 Se AB é congruente a BC e a medida do segmento DE 
é 5 cm, então podemos dizer que a medida de FG em 
centímetros vale:
5 cm
12 Em um triângulo isósceles ABC, com AB 5 AC, AM
é a mediana. Se B 5 40°, determine os ângulos x e y.
 
40°
A
B
M
C
y
x
x 5 50º e y 5 90º.
13 Na figura a seguir, PA é a bissetriz do triângulo ABC. 
Determine x, y, z e t.
 
30°
50°
P
B
C
A
t
y
z
x
x = 30°; y = 100°; z = 80° e t = 70°.
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APLICANDO O CONHECIMENTO
1 Em um triângulo ABC, AP é a altura relativa ao lado BC e 
BR é a altura relativa ao lado AC. Se o ângulo BBCA mede 
50°, quanto mede o ângulo PBQR?
 
Q
A
R
PB
C
130°
2 Uma estátua em homenagem a um poeta de uma cida-
de será colocada na praça principal. Em qual ponto ela 
deverá ser colocada para que fique equidistante das três 
ruas (R1, R2 e R3) ?
 
Rua 3
R
u
a
 2Rua 1
No incentro.
3 No triângulo ABC da figura abaixo, m(BA) 5 80°, BI e CI 
são, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos ABBC e 
ABCB. Determine a medida do ângulo BB IC.
 
80°
I
B
A
C
x
x 5 130°
4 Suponhamos que uma luminária ilumine um palco com 
a forma de um triângulo equilátero, conforme a figura 
abaixo.
 
A
B C
6 m
 Sabendo que a luminária está a 6 metros de altura do 
chão e que O é o ortocentro desse triângulo, calcule a 
distância de O até C.
4 m
5 (UFF-RJ – Adaptada) O triângulo MNP é tal que o ângulo 
m(BM) 5 80° e o ângulo m(BP) 5 60°.
 Qual a medida do ângulo formado pela bissetriz do 
ângulo interno BN com a bissetriz do ângulo externo BP?
40°
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6 Paulo, Roni e Paloma foram chamados para participar de 
um debate sobre a corrupção no Brasil. Paulo está sen-
tado no ponto P, Roni no ponto R e Paloma no ponto M. 
O organizador do evento deseja colocar uma mesa de 
centro (C) com água e café de forma que ela fique equi-
distante dos três especialistas. Qual é o lugar geomé-
trico que satisfaz essa condição?
 M
R
P
C
Circuncentro.
7 (Enem – Adaptada) Uma criança deseja criar triângulos 
utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. 
Cada triângulo será construído com exatamente 17 pali-
tos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o 
comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra 
um triângulo construído com essas características.
 
 Qual a quantidade máxima de triângulos não congruentes 
dois a dois que podem ser construídos?
3
8 (Unesp-SP – Adaptada) Um aluno precisa localizar o 
centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe 
apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma 
régua não graduada, de um compasso e da moeda.
 
 Nessas condições, qual o número mínimo de pontos dis-
tintos necessários a serem marcados na circunferência 
descrita pela moeda para localizar seu centro?
3
9 (IFPE – Adaptada) Paloma estava fazendo o dever de 
casa de Matemática, que tratava de “retas paralelas 
cortadas por transversais”. Um dos exercícios pedia o 
valor de x da figura abaixo.
 
u
x
r
s
20°
120°
t
 Ela achou que seria 120°, mas estava insegura dessa 
resposta, por isso pediu ajuda a seu irmão que é pro-
fessor de Matemática e sabia a resposta correta. Qual 
valor o irmão dela encontrou?
140°
10 (Cefet-SC – Adaptada) Na figura abaixo, 
u ru
OP é bissetriz 
do ângulo ABOB. Determine o valor de x e y.
 
y 2 10° 
x 1 30° 
2y
B
P
AO
x 5 10º e y 5 50º.
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DESENVOLVENDO HABILIDADES
1 (Enem) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e 
a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de 
Brasília-DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
Mapa do Brasil e algumas capitais
SIQUEIRA, S. Brasil Regi›es. Disponível em: <www.santiagosiqueira.pro.br>.
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
 Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° no 
sentido horário com a rota Brasília-Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma 
conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a 
direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada 
pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro 
Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Riode Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
2 (EEAR-SP – Adaptada) Um terreno triangular ABC foi dividido por uma trissetriz (divide o ângulo em três partes iguais), 
conforme figura abaixo.
 Sabe-se que o ângulo BBEA 5 70° e que o ângulo DBCA 5 40°. Com base nos dados, o valor de a é:
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
R
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70°
40°
a
a
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3 (Uece) No plano, seja XYZW um quadrado e E um 
ponto exterior a esse quadrado tal que o triângulo 
YZE seja equilátero. Assim, é correto afirmar que a 
medida do ângulo X BEW é 
E
YX
ZW
a) 45°
b) 40°
c) 35°
d) 30°
e) 25°
4 (UFRGS-RS) Em um triângulo ABC, BBAC é o maior ângulo 
e ABCB é o menor ângulo. A medida do ângulo BBAC é 
70° maior que a medida de A BCB. A medida de BBAC é 
o dobro da medida de ABBC.
 Portanto, as medidas dos ângulos são 
a) 20°, 70° e 90°.
b) 20°, 60° e 100°.
c) 10°, 70° e 100°.
d) 30°, 50° e 100°.
e) 30°, 60° e 90°.
5 (EEAR-SP) No quadrilátero ABCD, o valor de y 2 x é 
igual a
x 2 20°
x
C
D
70°
60°
y
y
A B
a) 2x
b) 2y
c) x
2
d) 
y
2
e) 3x
6 (Fatec-SP) Em um círculo recortado em papel-cartão 
foi feito o desenho de um homem estilizado. Esse 
círculo foi utilizado para montar uma roleta, confor-
me a figura 1, fixada em uma parede. Quando a role-
ta é acionada, o círculo gira livremente em torno do 
seu centro, e o triângulo indicador permanece fixo 
na parede.
Figura 1.
 Considerando, inicialmente, a imagem do homem na 
posição da figura 1, obtém-se, após a roleta realizar 
uma rotação de três quartos de volta, no sentido ho-
rário, a figura representada em
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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7 (UPE – Adaptada) Dentre as alternativas abaixo, qual figu-
ra representa melhor o triângulo A'B'C', obtido por uma 
reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo e seguida de 
uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno 
do ponto B refletido?
a) 
A B
A'
B'
C'
e
C
b) 
A B
B' A'
C'
e
C
c) 
A
B
C
B' A'
C'
e
d) 
A
A'
B
C
B'
C'
e
e) 
BA
A'
C
B'
e
C'
8 (Ifsul-RS) Duas retas paralelas r e s cortadas por uma 
transversal t formam ângulos colaterais internos, dos 
quais um excede o outro em 20°.
 O ângulo colateral interno agudo mede 
a) 20°
b) 35°
c) 55°
d) 80°
e) 85°
9 (Uece) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas 
iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os seg-
mentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então a 
medida do ângulo Y BOZ é 
a) 46°.
b) 42°.
c) 36°.
d) 30°.
e) 50°.
10 (UTFPR) Um triângulo isósceles tem dois lados con-
gruentes (de medidas iguais) e o outro lado é chamado 
de base. Se em um triângulo isósceles o ângulo externo 
relativo ao vértice oposto da base mede 130°, então os 
ângulos internos deste triângulo medem:
a) 10°, 40° e 130°.
b) 25°, 25° e 130°.
c) 50°, 60° e 70°.
d) 60°, 60° e 60°.
e) 50°, 65° e 65°.
ANOTAÇÕES
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