teorema de Pitágoras

Prévia do material em texto

26 2.2. Demonstrações mais Geométricas
A
BHC
Figura 2.7: Triângulo retângulo △ABC
Os triângulos △AHC e △ABC são semelhantes pelo caso AAA. Logo, temos
a seguinte relação de proporcionalidade:
CH
CA
=
CA
CB
= cosC. (2.1)
Também temos semelhança de triângulos entre △AHB e △ABC, pelo caso
AAA, e a consequente relação de proporcionalidade:
BH
BA
=
BA
BC
= cosB. (2.2)
Ainda, temos em (2.1): (CA)2 = CB · CH e em (2.2): (BA)2 = BH ·BC.
Somando as igualdades, obtemos:
(CA)2 + (BA)2 = BC · (BH +HC) = (BC)2,
demonstrando o Teorema de Pitágoras.
2.2.3 De Perigal
Henry Perigal foi um matemático e astrônomo amador, que passou a maior
parte de sua longa vida (1801-1898), perto de Londres, na Inglaterra. Perigal
era contador por profissão, mas suas paixões eram a observação de estrelas e a
Matemática. Ele era um membro da Sociedade Astronômica Real e tesoureiro da
Royal Meteorological Society.
Perigal desenvolveu uma nova prova do Teorema de Pitágoras, em 1830, com-
plexa e não tão evidente para o observador casual, quando comparada a algumas
das provas da antiguidade. Essa demonstração foi descoberta por acaso, pois, na
27 2.2. Demonstrações mais Geométricas
ocasião, na verdade ele estava tentando encontrar uma solução para a quadratura
do círculo.
Perigal deve ter considerado sua prova um grande feito em sua vida, pois pediu
que fosse colocada em sua lápide. Seu pedido foi atendido.
Figura 2.8: Diagrama de Perigal
Sua demonstração tem o seguinte raciocínio:
• Passo 1: Constrói os três quadrados sobre os lados do triângulo.
• Passo 2: No quadrado do cateto de maior lado, traça uma paralela à
hipotenusa passando pelo centro do quadrado.
• Passo 3: Traça uma perpendicular à paralela à hipotenusa passando pelo
centro do quadrado.
• Passo 4: Obtém quatro quadriláteros idênticos no quadrado do cateto
maior.
• Passo 5: Faz uma montagem de um quebra-cabeças, através de movimentos
de translação com os quadriláteros construídos, encaixando-os no quadrado
referente à hipotenusa, deixando um espaço central neste quadrado que cor-
responde ao outro quadrado do cateto menor.