III - Altimetria

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Topografia
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi
Revisão Técnica:
Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Altimetria
• Introdução
• Nivelamento
• Declividade
 · Conhecer as medidas realizadas em campo através de um nível para 
a aplicação do nivelamento topográfico.
 · Conhecer os tipos de nivelamento, as cadernetas de campo, os 
cálculos e os gráficos derivados das observações em campo.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Altimetria
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Altimetria
Introdução
A altimetria, ou nivelamento, é a medida das distâncias verticais entre dois 
pontos de uma área, medindo, portanto, a diferença de nível entre os quais.
Você poderia pensar que para medir a diferença de altura entre dois pontos 
sobre a superfície da Terra, deveria-se levar em conta a curvatura do Planeta, 
uma vez que já é sabido que este é esférico. É claro que para pequenas distâncias, 
como a área do terreno da casa ou do apartamento onde você mora, a influência 
da curvatura da Terra é desprezível, mas qual é o limite para não considerarmos 
tal influência? Imagine que você esteja realizando medidas em uma grande fazenda 
no interior, nesse caso, você deveria ou não levar em conta a curvatura da Terra?
Imagine ainda que você está realizando medidas sobre a superfície da Terra 
e que os pontos A e B estejam na mesma altura aparente. O erro cometido na 
leitura da altura é devido a dois fatores: o raio de inclinação da Terra e a refração 
da atmosfera – é o desvio que um raio de luz faz ao passar de um meio para outro 
com diferente densidade como, por exemplo, quando colocamos uma colher em 
um copo com água.
Na Figura 1 temos o erro óptico (Eopt), o erro devido à curvatura da Terra (Ect), 
o raio da Terra (Rt) e a distância entre os pontos A e B (d).
Importante!
O desenho está exageradamente fora de escala para que você possa entender o cálculo.
Importante!
A
B
Eopt
Ect
Rx
Rx
C
Figura 1 – Diagrama com o erro cometido na leitura da altura 
devido ao raio de curvatura terrestre e à refração atmosférica
8
9
Note que a figura ABC é um triângulo retângulo e, assim, podemos escrever 
usando o teorema de Pitágoras:
CB CA AB2 2 2= +�
Mas CA é igual ao raio da Terra, CB é igual à soma do raio da Terra e os erros 
E e AB são iguais à distância entre os pontos.
CA Rt e CB Rt E= = +
Substituindo os valores na equação anterior:
Rt E Rt d
Rt E Rt E Rt d
E Rt E d
E
+( ) = +
+ + = +
+ =
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
�
�.� �.� �
�.� �.� �
22Rt E d+( ) = ²
Como o erro é muito pequeno comparado ao raio da Terra, podemos dizer que 
o resultado de 2 2Rt E Rt+ ≈ é:
E Rt d
E
d
Rt
2
2
( ) =
=
²
²
Como dito, o erro é a soma de dois fatores, o erro óptico e o erro de curvatura. 
Através de observações realizadas em diversos pontos da Terra, estima-se que o 
erro óptico médio seja igual a 0,1306 do erro total, ou seja:
Eopt E= 0 1306, �
Lembrando que o erro total E:
E Eopt Ect= +
Então:
E E Ect
Ect E E
= +
= −
0 1306
0 1306
,
,
Colocando o erro total (E) em evidência:
Ect E
Ect E
E
Ect
= −( )
=
=
1 0 1306
0 8694
0 8694
,
, �
,
9
UNIDADE Altimetria
Que pode ser substituído na equação anterior:
E
Ect
E
d
Rt
Ect d
Rt
Ect
d
Rt
= ⇔ =
=
=
0 8694 2
0 8694 2
2
0 8694
,
� �
²
,
²
�
²
,
Ou:
Ect
d
Rt
=�
²
,0 4347
Supondo que o raio médio da Terra seja igual a 6.371 km (6.371.000 m), para 
uma distância de 120 m, temos:
Ect
Ect m
=
( )
=
�
²
,
�, � �
120
6371000
0 4347
0 00098
Que é o equivalente a, aproximadamente, 1 mm, este que é um erro pouco 
significativo para as distâncias utilizadas. Então, podemos concluir que para uma 
distância de aproximadamente 120 m, podemos desconsiderar o erro causado pela 
curvatura terrestre.
Nivelamento
O estudo dos desníveis do terreno é de fundamental importância para a 
Engenharia, pois a partir de uma cota ou altitude referencial é possível determinar 
as depressões e elevações de um terreno.
Neste momento é importante que você faça a distinção entre cota e altitude: cota 
é a altura vertical medida a partir de um plano qualquer, enquanto que altitude é a 
distância vertical medida com relação ao nível do mar. Por exemplo, imaginemos 
que você esteja em um local onde a altitude de seu ponto referencial – ponto A da 
Figura 2 – seja de 200 m e a cota medida para um outro ponto – B – com relação 
a esse ponto seja igual a 2,31 m, teremos então uma altitude de 202,31 m para 
o ponto B.
10
11
A
B
cota = 2,31m
200m de altitude
Nível do mar
Figura 2 – Exemplo da diferença entre cota e altitude
Existem três tipos de nivelamento: trigonométrico, geométrico e taqueométrico. 
Segundo a Norma Brasileira (NBR) 13133 – execução de levantamento topográfico 
–, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), os nivelamentos podem 
ser definidos como:
[Trigonométrico – ...] realiza a medição da diferença de nível entre pontos 
no terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical 
da direção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na 
relação trigonométrica entre o ângulo e a distância medidos, levando em 
consideração a altura do centro do limbo vertical do teodolito ao terreno e 
a altura sobre o terreno do sinal visado (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE 
NORMAS TÉCNICAS, 1994, p. 4);
Z
DH
ha dh
h1
A
B
Figura 3 – Nivelamento trigonométrico, onde são medidos os ângulos Z e A e a Distância 
Horizontal (DH), sendo possível determinar o desnível através do triângulo retângulo
[Geométrico – ...] realiza a medida da diferença de nível entre pontos no 
terreno por intermédio de leituras correspondentes às visadas horizontais, 
obtidas com um nível, em miras colocadas verticalmente nos referidos pon-
tos (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1994, p. 3);
11
UNIDADE Altimetria
Ré
Vante
Ré
Vante
0
1
2
DN
Figura 4 – Levantamento geométrico, com o nível colocado entre 
várias miras, onde é medida a diferença de altura entre as quais
[Taqueométrico – ...] nivelamento trigonométrico em que as distâncias são 
obtidas taqueometricamente e a altura do sinal visado é obtida pela visada 
dofio médio do retívulo da luneta do teodolito sobre uma mira colocada 
verticalmente no ponto cuja diferença de nível em relação à estação do 
teodolito é objeto de determinação (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE 
NORMAS TÉCNICAS, 1994, p. 4).
Os tipos de nivelamento mais utilizados são o trigonométrico e o geométrico. O 
nivelamento trigonométrico é baseado na construção de triângulos retângulos e é 
muito mais rápido de ser realizado, mas apresenta incertezas maiores e que tendem 
a ser desprezíveis em grandes distâncias ou desníveis, pois o erro percentual será 
pequeno; já para medidas mais precisas utilizamos o nivelamento geométrico, 
como será descrito a seguir.
Nivelamento Geométrico
Para realizar o nivelamento geométrico devemos utilizar um nível e miras. O 
nível pode ser digital ou analógico, mas deve ser afixado em um tripé e alinhado 
com a horizontal através de níveis bolha.
 
Figuras 5 e 6 – Nível e miras para níveis analógicos com números e subdivisões 
para leitura e a mira em código de barras para leitura com nível digital
12
13
A leitura da mira utilizando o nível 
óptico – sem leitura digital – deve ser re-
alizada lendo quatro algarismos: os dois 
primeiros estão, em geral, colocados na 
mira; o terceiro é lido como mostrado 
na Figura 7; e o quarto algarismo deve 
ser estimado.
O nivelamento geométrico possui 
uma precisão de centímetro ou milíme-
tro por quilômetro. Pode ser simples ou 
composto, a diferença é que o simples se 
baseia em uma única instalação do nível, 
enquanto o composto se baseia em lo-
cais onde o aparelho deve ser instalado, 
ou seja, em lugares diferentes devido à 
impossibilidade de se realizar as medidas 
com uma única linha de visada.
II
9
2.028 m
2.000 m
1.966 m
1.950 m
1.912 m
1.900 m
1.885 m
Figura 7 – Exemplos de leitura de mira
A B C D E
Visa
da
Ré
V.V
.I
V.V.m
A B C D E
Figura 8 – Tipos de nivelamento: simples (fi gura superior), sem a mudança do 
equipamento; e composto (fi gura inferior), com a mudança do equipamento
Os dados devem ser anotados em uma planilha ou caderneta de campo. A 
planilha de campo é um material essencial para documentar o seu trabalho em 
topografia. É nesta que você deverá anotar os dados observados nos instrumen-
tos topográficos.
13
UNIDADE Altimetria
Lembre-se que deve ser clara e legível, pois é um documento que, após as 
medidas em campo, pode ser utilizado por outras pessoas para realizar o 
tratamento dos dados e complementar o levantamento topográfico. Assim, seja 
organizado(a), lembrando-se de anotar os seus dados e as informações do projeto 
ou do levantamento na parte superior de cada folha e use, preferencialmente, 
caneta à prova d’água ou grafite, a fim de evitar borrões em caso de chuva.
É igualmente importante a realização de um croqui, que é um desenho feito à 
mão livre, com a forma aproximada do terreno e a marcação das posições onde os 
instrumentos foram colocados, assim como a nomenclatura dada a cada um. Dessa 
forma, evitam-se confusões posteriores caso o observador não se lembre de algum 
dado sobre o posicionamento instrumental.
No caso do nivelamento geométrico, além de um cabeçalho com seu nome 
completo, nome do projeto, localização e outros dados importantes para o terreno, 
deve-se preparar uma planilha de campo com as seguintes colunas:
Quadro 1
Estaca
Visão vante Visada
ré
Altura 
instrumental Cota
Intermediária Mudança
Tais valores devem ser anotados para a realização de um gráfico com as inclina-
ções do terreno e o cálculo da declividade. Vejamos um exemplo:
Exemplo 1 – nivelamento geométrico simples.
Imagine que um topógrafo foi a campo para realizar um nivelamento geométrico 
simples (Figura 9) em um local com altitude igual a 520 m e com as estacas colocadas 
a cada 10 m, retornando com a seguinte planilha de campo:
Quadro 2 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico simples à altitude de 520 m
Estaca
Visão vante Visada
ré
Altura 
instrumental
Cota
Intermediária Mudança
520
A 0,740
B 0,982
C 2,378
D 2,744
E 2,691
F 1,816
G 0,586
14
15
Vis
ada
Ré V.V
.I
A B C D E F G
10m 10m 10m 10m 10m 10m
Figura 9 – Nivelamento simples realizado no Exemplo 1
Iniciaremos calculando a altura instrumental que será dada por:
alt.instrum = cota inicial + visada ré
alt.instrum = 520 + 0,740 = 520,740 m
A seguir, calcularemos as cotas para cada ponto – que é o nosso objetivo principal 
– para estimar e “graficar” os desníveis do terreno:
cota = alt.instrum – v.v.i.
Ou:
cota = alt.instrum – v.v.m .
Onde v.v.i. é a visão vante intermediária e v.v.m. é a visão vante de mudança.
A cota para a estaca A é de 520 m, tal como indicado no enunciado.
Para B:
cotaB = 520,740 – 0,982
cotaB = 519,758 m
Para C:
cotaC = 520,740 – 2,378
cotaC = 518,362 m
15
UNIDADE Altimetria
Para D:
cotaD = 520,740 – 2,744
cotaD = 517,996 m
Para E:
cotaE = 520,740 – 2,691
cotaE = 518,049 m
Para F:
cotaF = 520,740 – 1,816
cotaF = 518,924 m
Para G:
cotaG = 520,740-0,586
cotaG = 520,154 m
Assim, podemos reescrever o Quadro 2 da seguinte forma – sendo que os 
números em azul foram calculados acima:
Quadro 3 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico 
simples à altitude de 520 m após o cálculo das cotas (em azul)
Estaca
Visão vante Visada
ré
Altura 
instrumental
Cota
Intermediária Mudança
A 0,740 520,740 520
B 0,982 518,758
C 2,378 518,362
D 2,744 517,996
E 2,691 518,049
F 1,816 518,924
G 0,586 520,154
O gráfico do nivelamento é apresentado na Figura a seguir:
co
ta
 (m
)
520,5
520
519,5
519
518,5
518
517,5
0 10 20 30 40 50 60 70
distância (m)
Figura 10 – Gráfico do nivelamento geométrico simples realizado no 
Exemplo 1, com distância entre as estacas igual a 10 m
16
17
Exemplo 2 – nivelamento geométrico composto.
Agora que você já se familiarizou com o nivelamento simples, observaremos 
como seria a caderneta de campo de um nivelamento composto para uma cota 
inicial de 200 m com estacas colocadas de 12 em 12 m:
Quadro 4 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico composto à altitude inicial de 200 m
Estaca
Visão vante Visada
ré
Altura 
instrumental
Cota
Intermediária Mudança
A 1,749 201,749 200
B 1,795
C 1,652
D 0,286
D 2,133
E 0,971
F 0,355
G 0,873
H 1,934
V.R
. V.V
.I
V.V
.I V.V.
M.
V.R V.V
.I
V.V
.I
A B C D E F G H
12m
Figura 11 – Nivelamento composto realizado no Exemplo 2
Realizaremos os cálculos das estacas B, C e D da mesma forma como foram 
realizados no exemplo anterior:
Para B:
cotaB = 201,749 – 1,795
cotaB = 199,954 m
Para C:
cotaC = 201,749 – 1,652
cotaC = 200,097 m
17
UNIDADE Altimetria
Para D:
cotaD = 201,749 – 0,286
cotaD = 201,463 m
Note que para o ponto D foram realizadas duas medidas: uma de visão vante de 
mudança e uma de visada ré. Para a estaca D devemos, então, reiniciar o proce-
dimento. A cota do ponto D será aquela calculada com a visão vante de mudança, 
mas a altura instrumental utilizada para as outras estacas será a altura instrumental 
de D, pois o aparelho foi movido, de modo que esta será a nova calibração:
alt.instrumD = cota inicial + visada ré
alt.instrum = 201,463 + 2,133 = 203,596 m
Para E:
cotaE = 203,596 – 0,971
cotaE = 202,625 m
Para F:
cotaF = 203,596 – 0,355
cotaF = 203,241 m
Para G:
cotaG = 203,596 – 0,873
cotaG = 202,723 m
Para H:
cotaH = 203,596 – 1,934
cotaH = 201,662 m
Quadro 5 – Caderneta de campo de um nivelamento geométrico composto 
à altitude inicial de 200 m com os resultados dos cálculos (em azul)
Estaca
Visão vante Visada
ré
Altura 
instrumental
Cota
Intermediária Mudança
A 1,749 201,749 200
B 1,795 199,954
C 1,652 200,097
D 0,286 201,463
D 2,133 203,596
E 0,971 202,625
F 0,355 203,241
G 0,873 202,723
H 1,934 201,662
18
19
O gráfico do nivelamento é apresentado na Figura a seguir:
co
ta
 (m
)
203,5
203
202,5
202
201,5
200,5
200
0 20 40 30 60 80 100
distância (m)
201
199,5
Figura 12 – Gráfi co do nivelamento composto apresentado no 
Exemplo 2, com distância entre as estacasigual a 12 m
Prova Real
Podemos tirar a prova real do nivelamento através da seguinte fórmula:
Cota final Visadas Ré v vm cota inicial� � � .�. .�� �= − +∑ ∑
Para o Exemplo 1 temos somente uma visada ré e uma v.v.m., então:
Cota final
Cota final m
� �, ,
� � , �
= − +
=
0 740 0 586 520
520 154
Que é exatamente a cota final do Exemplo 1, o que nos leva à certeza de que os 
cálculos foram realizados de maneira correta.
Para o Exemplo 2, temos:
∑
∑
= + =
= + =
visadasré m
v vm m
� , , , �
. . . , , , �
1 749 2 133 3 882
0 286 1 934 2 220
CCota final
Cota final m
� �, ,
� � , �
= − +
=
3 882 2 220 200
201 662
Que também é a cota final do Exemplo 2, como queríamos demonstrar.
19
UNIDADE Altimetria
Declividade
A declividade pode ser calculada entre quaisquer duas marcações no terreno. A 
declividade é dada por:
declividade
y
x
cota final cota inicial
distância final
=
∆
∆
=
−
−
� �
� �
� ddist inicial.�
Para o Exemplo 1, temos uma declividade total de:
declividade =
−
−
= =�
,
�
,
,
520 15 520
60 0
0 15
60
0 0025
Que, em porcentagem, é o correspondente a:
0 0025 100 0 25, �� , %�× =
Ou ainda, 0,25 m para cada 100 m, que é o equivalente a 25 cm a cada 100 m.
Poderíamos calcular também a declividade entre dois pontos quaisquer medidos. 
Por exemplo, a declividade entre as estacas A e F no Exemplo 2:
declividade =
−
−
= =�
,
�
,
,
202 72 200
72 0
2 72
72
0 0378
Que é o equivalente a 3,78%, ou 3,78 m a cada 100 m.
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21
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Demarcação de Terraço Nivelado (Curva de Nível)
Videoaula da Escola Técnica Estadual (Etec) Monte Aprazível com a descrição da 
instrumentação e instruções para a realização do nivelamento topográfico utilizando-
se de um nível.
https://youtu.be/QO6SuVbWdBA
Engenharia, Topografia, Agrimensura: Leitura da Régua Graduada ou Mira – Nivelamento Geométrico
Videoaula sobre a leitura da mira durante o nivelamento topográfico.
https://youtu.be/wappYkcQjuk
 Leitura
Execução de Levantamento Topográfico
Norma Brasileira (NBR) 13133, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
para a realização de nivelamento topográfico.
https://goo.gl/72wSB3
Exatidão dos Desníveis Obtidos com Estação Total
Artigo de Leila Meneghetti, da Faculdade de Tecnologia de São Paulo (Fatec-SP), que 
resume os métodos e as análises das medições de desnível através do uso de estação 
total durante o nivelamento.
https://goo.gl/tq0q6W
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UNIDADE Altimetria
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133 – execução 
de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
BORGES, A. C. Exercícios de topografia. São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
________. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 1-2. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1992.
GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às Ciências Agrárias. 
São Paulo: Nobel, 1994.
GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION P. L. Fundamentos de topografia. 
Curitiba, PR: UFPR, 2012.
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