2016 2-AD2-MF-Gabarito

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MF -AD 2 -2016/2 
Gabarito 
1) (1,0 pt.) Três títulos de 12.000,00 R$ vencíveis em dois, quatro e seis meses, respectivamente, serão 
substituídos por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis em três e cinco meses, 
respectivamente. Qual será o valor desses pagamentos, se a taxa de juro composto for de ano ao % 15 , 
capitalizada mensalmente e se for adotada na equivalência o critério do: 
 a) desconto comercial; 
 b) desconto racional. 
 
Solução: 
 
 
 12.000,00 12.000,00 12.000,00 
dívida original 
 
 
proposta 0 1 2 3 4 5 6 (meses) 
de paga- x x 
mento 
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida original e a seta para 
baixo o conjunto de capitais formado pela proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam equivalentes. 
Sabe-se que dois ou mais conjuntos de capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas diferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data for igual. 
Conforme solicitado, será adotado o regime de juro composto a uma taxa de ano ao % 15,0 , capitalizada 
mensalmente. Portanto, a taxa de dada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação e mensal. Logo considerando a relação entre 
as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, 
como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por mês ao % 1,25 
12
015

,
i . 
 
 
2
2
No regime de juros composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Pode-se assim escolher a 
data mais conveniente para os cálculos do problema. Nesse caso vamos optar pela data “zero” como data 
focal. 
 
a) No desconto comercial composto, o valor atual A pode ser obtido através da equação 
 
 ni
A
NniNA


1
1 , onde N é o valor nominal do título, n é prazo de antecipação e i é a taxa 
unitária da operação. Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
 
   
     601250100000124012501000001220125010000012
50125013012501
,,.,,.,,.
,x,x


 
3700218
9020101
6924034
38113359020101 ,.x
,
..
x,.x,  . 
b) No desconto racional composto, o valor atual A pode ser obtido através da equação 
 
 ni
N
AniAN


1
1 , onde N é o valor nominal do título, n é prazo de antecipação e i é a taxa 
unitária da operação. 
Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
6
012501
0000012
4012501
0000012
2012501
0000012
50125013012501 ),(
,.
),(
,.
),(
,.
),(
x
),(
x









 
3200218
9031951
9226134
92261349031951 ,.x
,
,.
x,.x,  
Resposta: 



18.002,32 R$ b)
18.002,37 R$ a)
 
 
2) (1,2 pt.) Uma empresa tem atualmente a seguinte dívida junto a uma instituição financeira: 
10.000,00 R$ , 20.000,00 R$ R$, 30.000,00 R$ R$ , 40.000,00 R$ e 50.000,00 R$ vencíveis 
sucessivamente ao final dos próximos cinco bimestres. Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de 
juro composto de ano ao % 9,0 , capitalizada bimestralmente. A empresa está negociando o 
refinanciamento desta dívida em dez prestações mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira em um 
mês. Para aceitar o negócio a instituição financeira está exigindo uma taxa de juro composto de 
 ano ao % 18 , capitalizada mensalmente. Determinar o valor de cada pagamento mensal. 
Solução: 
 
 
 
 
 
3
3
 
 P 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 (bimestres) 
 10.000,00 
 20.000,00 
 30.000,00 
 40.000,00 
 50.000,00 
O diagrama acima representa a divida atual da empresa. Denotamos por P o valor da divida na data zero. 
A divida foi contraída a uma taxa de ano ao % 9,0 , capitalizada bimestralmente, portanto, a taxa dada é 
nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é bimestral, ou seja, a taxa 
efetiva da operação é bimestral. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, taxa 
efetiva bimestral da operação é proporcional a taxa dada, isto é , como bimestres 6 ano 1  , então a taxa 
efetiva i será dada por bimestre ao % 1,5 
6
09

,
i . Portanto, temos a seguinte equação equivalência: 
         
34055142
501501
0000050
401501
0000040
301501
0000030
201501
0000020
101501
0000010
,.P
,
,.
,
,.
,
,.
,
,.
,
,.
P 









 . 
Devemos agora distribuir esse valor numa série uniforme com 10 termos mensais iguais e sucessivos R , 
ocorrendo o primeiro em 30 dias. Sabe-se que a taxa de juros da operação e de ano ao % 18,0 , capitalizada 
mensalmente, portanto, a taxa dada é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre 
as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, isto é , 
como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por mês ao % 1,5 
12
018

,
i . 
Temos uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar o valor das prestações R sabendo-se 
que o seu valor atual P é 08934119 ,. , o total de prestações n é de 10 e a taxa da operação é de 
mês ao % 51, 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
 
 
4
4
 34055142 ,.P  
 
 
 
 
 0 1 2 3............8 9 10 (meses) 
 
 RR ........................................................ 
Sabemos que    niFVP
PRn,iFVPRP
 ;
1
  , onde P é valor atual da série (valor financiado), R o 
valor dos termos da série ( prestações ), n o número total de prestações e i a taxa da operação. 
Logo, nesse caso,  10 %; 51
1
34055142
,FVP
,.R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 , , temos que : 
        1084340
10 % 3
1
222185910 % 3
0150
10015011
10 % 51 ,
;FVP
,;FVP
,
,
;,FVP 

 . 
Portanto, 634031510843034055142 ,.R,,.R  . 
Resposta: R$ 15.403,63 
 
3) (1,0 pt.) Uma empresa tem uma dívida ser paga em um ano e meio através de pagamento mensais,iguais 
e sucessivos no valor no valor de 4.802,74 R$ , vencendo o primeiro pagamento em trinta dias. Prevendo 
problemas de fluxo de caixa, essa empresa deseja substituir esses pagamentos por um único pagamento a 
ser realizado em dois anos. Se a taxa de juro composto do financiamento é de ano ao % 12 , capitalizada 
mensalmente, qual o valor deste único pagamento? 
Solução: 
A taxa da operação é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é 
mensal, ou seja, a taxa efetiva da operação é mensal; logo, considerando a relação entre as unidades de 
tempo dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, isto é , 
como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por mês ao % 1,0 
12
012

,
i . 
Como meses 18 anos 51 , então são dezoito os pagamentos mensais de 4.802,74 que são os termos de 
uma série uniforme modelo básico. Podemos então determinar o valor atual P dessa série sabendo-se que o 
total de prestações n é de 18 e a taxa da operação é de mês ao % 01, 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
5
5
 P 
 
 
 
 
 0 1 2 3............ 16 17 18 (meses) 
 
 4.802,74 4.802,74  R....................................................R 
Sabemos que  n,iFVPRP  , onde P é valor atual da série , R o valor dos termos da série ( prestações), 
n o número total de prestações e i a taxa da operação. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
Logo, nesse caso,  18 %; 01 4.802,74 ,FVPP  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
n,iFVP


11
 , temos que: 
      3982691611 % 01
010
1801011
18 % 01 ,;,FVP
,
,
;,FVP 

 . 
Portanto, 627567839826916 4.802,74 ,.P,P  . 
O pagamento único a ser efetuado em dois anos, ou seja, 24 meses será dado por: 
  00000100269735102793492401016275678 ,.,,.,,.  . 
Resposta: R$ 100.000,00 
 
4) (1,5 pts) Um empresário tomou um financiamento de R$ 75.000,00, para ser pago em 15 prestações 
mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de juro composto nominal de ano ao % 18,0 . Imediatamente 
após o nono pagamento, o empresário propôs uma renegociação ao banco, que aceitou refinanciar o 
saldo devedor em 12 prestações mensais, todas do mesmo valor, a serem pagas a partir do décimo mês. 
Determinar o valor das novas prestações mensais, sabendo que a taxa de juro da operação permanece a 
mesma. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 18,0 é nominal, e como as prestações são mensais, então a capitalização é mensal , ou 
seja, a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a 
taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, como s trimestre4 ano 1  , então que a taxa 
efetiva i será dada por mês ao % 51
12
018
,
,
i  . 
Nesse problema temos uma série uniforme modelo básico cujo valor atual P é igual a 75.000,00 e 
precisamos determinar o valor dos termos mensais R (prestações), sabendo-se que o total n de termos da 
série é igual a quinze e que a taxa da operação é mês ao % 51, 
 
 
6
6
O diagrama abaixo representa essa série 
0000075 ,.P  
 
 
 
 0 1 2 3.........9 10....... 14 15 (meses) 
 
 R............................................................R 
 Sabemos que    niFVP
PRn,iFVPRP
 ;
1
  , onde P é valor atual da série (valor financiado), R o 
valor dos termos da série ( prestações ), n o número total de prestações e i a taxa da operação. 
Logo, nesse caso,  15 %; 51
1
0000075
,FVP
,.R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a expressão    
i
ni
niFVP


11
 , , temos que : 
        0749440
15 % 51 
1
3432331315 % 51 
0150
15015011
15 % 51 ,
;,FVP
,;,FVP
,
,
;,FVP 

 
Portanto, 83620507494400000075 ,.R,,.R  . 
Após o pagamento da nona prestação, restam 6 a serem pagas. Logo o saldo devedor após o pagamento da 
nona prestação, será o valor atual dessas 6 prestações, no período nove. Denotaremos esse saldo por 9P . 
Para determinar o valor de 9P , vamos considerar a série formada pelos seis termos restantes. 9P é o valor 
atual dessa série. 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 9P 
 
 
 0 1 5 6 
 0 1 2 3.........9 10....... 14 15 (meses) 
 
 836205836205 ,.R..........,.R  
 6 %; 1,5 83,620.59 FVPP  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a expressão    
i
ni
niFVP


11
 , , temos que 
      69718756 % 51 
0150
6015011
6 % 51 ,;,FVP
,
.
;,FVP 

 . 
Portanto, 9202232969718758362059 ,.P,,.P  . 
 
 
7
7
Esse valor será então distribuído em uma serie modelo padrão de doze termos mensais (prestações) R , 
considerando a mesma taxa de mês ao % 51, . 
O diagrama abaixo representa essa série: 
9202232 ,.P  
 
 
 
 
 0 1 2 3............10 11 12 (meses) 
 
 R............................................................R 
Portanto,  12 %; 51
1
9202232
,FVP
,.R  
Utilizando uma tabela financeira ou a expressão    
i
ni
niFVP


11
 , , temos que: 
        0916800
12 % 51 
1
9075051012 % 51 
0150
12015011
12 % 51 ,
;,FVP
,;,FVP
,
.
;,FVP 

 . 
Logo, 86935209168009202232 ,.R,,.R  
Resposta: R$ 2.935,86 
 
5) (1,0 pt.) Uma pessoa efetua um depósito inicial de 28.000,00 R$ , em uma conta remunerada, 
processando sequencialmente mais nove depósitos mensais iguais e sucessivos de 56,844.2 R$ cada. 
Determinar quanto essa pessoa terá acumulado quando da realização do último depósito, admitindo-se 
uma taxa de juros de ano ao % 20,4 capitalizada mensalmente. 
Solução: 
A taxa da operação é nominal, e como os depósito são mensais, então a capitalização que é mensal, ou seja, 
a taxa efetiva da operação é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a 
taxa efetiva mensal da operação é proporcional à taxa dada, isto é, como meses 12 ano 1  , então a taxa 
efetiva i será dada por mês ao % 1,7 
12
4020

,
i . 
Os nove depósitos mensais, iguais e sucessivos de 56,844.2 constituem uma série uniforme modelo básico 
em que se quer determinar o seu montante S , sabendo-se que a taxa da operação é de mês ao % 1,7 , e que 
o total de termos ( depósitos) é 9n 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
 
 
8
8
 
 S 
 
 
 
 
 0 1 2 3............ 7 8 9 (meses) 
 
 56,844.2 ...........................................56,844.2  RR 
 Sabe-se que    niFVP
PRniFVFRS
 ;
1
 ,  , onde S é valor do montante da série, R o valor dos 
termos (depósitos) da série, n o número total de termos e i a taxa da operação. 
Portanto, nesse caso,  9 ;% 1,756,844.2 FVFS  . 
Utilizando a equação    
i
ni
niFVF
11
 ;

 , temos que,    



017,0
19017,01
9 %; 1,7 FVF 
  636906,99 %; 1,7 FVF . Portanto, 74,412.27636906,956,844.2  SS . 
O montante do depósito inicial de 28.000,00 será dado por: 
  16,587.32163827,100,000.289017,0100,000.28  S . 
Portanto no mês nove o aplicador terá acumulado um total de 00,000.6016,587.3274,412.27  . 
Resposta: R$ 60.000,00 
 
6) (1,2 pt.) Uma pessoa aplicou hojea quantia de 9.456,96 R$ e após dois anos recebeu o montante de 
15.210,93 R$ . Que depósitos mensais iguais e sucessivos nesse período produziriam a mesma soma, se o 
juro sobre o saldo credor fosse beneficiado com a mesma taxa da primeira operação? (Considerar que o 
primeiro depósito será realizado em trinta dias). 
Solução: 
Como o poupador aplicou hoje uma quantia de 9.456,96 e recebeu em 24 meses o montante de 15.210,93 , 
então a taxa mensal i desta operação será obtida por:    2419.456,96 15.210,93 i 
   24 608438,11
9.456,96
15.210,93 241 ii mês ao % 02ou mês ao 0200211 ,i,i,i  . 
Queremos substituir essa operação por depósitos mensais, iguais e sucessivos, ocorrendo o primeiro 
depósito em trinta dias, de modo que no final do 24º depósito tenhamos um montante igual ao da primeira 
aplicação, ou seja, estamos diante de uma série uniforme modelo padrão, em 15.210,93 S , 24n meses 
e mês ao % 02,i  . 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 
 
9
9
 15.210,93 S 
 
 
 
 
 0 1 2 3............22 23 24 (meses) 
 
 RR ........................................................ . 
Sabemos que    niFVF
S
RniFVFRS
 ;
 ;  , onde S é valor do montante da série, R o valor dos 
termos (depósitos) da série, n o número total de termos e i a taxa da operação. 
Portanto, nesse caso,  24 ;% 2,0
1 
15.210,93 
FVF
R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVF
11
;

 , então: 
         032871,0
24 ;% 1
1
421862,3024 ;% 2,0
02,0
2402,01
24 ;% 2,0 


FVF
FVFFVF . 
Portanto, temos que 00,500032871,093,210.15  RR . 
Resposta: R$ 500,00 
 
7) (1,5 pts.) Uma empresa toma um empréstimo de 50.000,00 R$ , com a condição de saldar a dívida em 
doze prestações trimestrais, iguais e sucessivas com um ano de carência. Calcular o valor das prestações, 
sabendo-se que a taxa de juro composto nominal da operação é de ano ao % 018, . 
Solução: 
A taxa de ano % 18 é nominal e como as prestações são trimestrais então a capitalização é trimestral, isto 
é, a taxa efetiva da operação é trimestral; logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas 
taxas, a taxa efetiva trimestral da operação é proporcional à taxa dada, isto é, como es trimestr4 ano 1  , 
então a taxa efetiva i será dada por e trimestrao % 4,5 
4
018

,
i . 
Neste problema, temos uma série de pagamentos uniforme de 12 termos (prestações) trimestrais sendo que o 
primeiro pagamento será realizado no 5º trimestre, isto é, um ano de carência ou quaro trimestres de 
carência. Logo o valor atual desses pagamentos (termos da série), que indicaremos por 4P , estará associado 
ao 4º trimestre e será determinado pela capitalização do valor inicial 00,000.500 P no 4º trimestre. 
Portanto,   59.625,933192519,1 50.000,003
4 0,0451 50.000,003  PPP . 
 
 
10
10
Logo, este será o valor que a ser distribuído numa série uniforme de 12n termos trimestrais, 
considerando a taxa de e trimestrao % 54,i  . 
O diagrama abaixo representa essa operação: 
 59.625,934 P 
00,000.500 P 
 
 0 1 2 10 11 12 
 0 1 2 3 4 5 6...........14 15 16 (trimestres) 
 
 RRRR .......... 
Sabemos que    niFVF
P
RniFVFRP
 ;
 ;  , onde P é valor do atual da série, R o valor dos termos 
da série, n o número total de termos e i a taxa da operação. 
Portanto, nesse caso,  12 ;% 4,5
1 
59.625,93 
FVP
R  . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 ; , então: 
        1096660
12 %; 54 
1
118581912 %; 54 
0450
12045011
12 %; 54 ,
,FVP
,,FVP
,
,
,FVP 

 . 
Portanto, 94,538.6109666,059.625,93  RR . 
Este resultado pode também ser obtido, considerando duas séries uniformes modelo básico: a primeira com 
16 termos trimestrais iguais a R e valor atual P . A segunda com quatro termos trimestrais iguais a R e 
valor atual P  . Então o valor atual 0P da série diferida dada, será obtido por PPP 0 e como nesse 
caso 00,000.500 P , então 00,000.500  PPP . 
Abaixo os diagramas dessas séries: 
 P 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5...............14 15 16 (trimestres) 
 
 RRRRRRRR .................. . 
 
O valor atual P dessa série será dado por  16 %; 5,4FVFRP  
 
 
 
 
11
11
 
 P  
 
 
 
 0 1 2 3 4 (trimestres) 
 
 R 
 R R R R 
O valor atual P  dessa série será dado por  4 %; 5,4FVFRP  . 
Portanto,     4 %; 5,416 %; 5,400,000.50 FVFRFVFR 
        4 %; 5,416 %; 5,4
00,000.50
4 %; 5,416 %; 5,400,000.50
FVFFVF
RFVFFVFR

 . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 , temos que: 
       234015,1116 %; 4,5 
045,0
16
045,011
16 %; 4,5 

 FVPFVP e 
      587526,34 %; 4,5 
045,0
4045,011
4 %; 4,5 

 FVPFVP . 
Portanto 94,538.6
646489,7
00,000.50
587526,3234015,11
00,000.50


 RRR . 
Resposta: R$ 6.538,94 
 
8) (1,6 pts) Determinar quanto deve ser aplicado mensalmente num fundo de poupança durante oito meses, 
de forma que se possa efetuar, a partir do décimo primeiro mês, quatro retiradas trimestrais de 
1.900,00 R$ cada. Considere na operação uma taxa de juro composto de mês ao % 1,5 . 
Solução: 
Os depósitos constituem uma serie uniforme padrão com oito termos mensais iguais a R e os saques de 
constituem outra série padrão com quatro termos trimestrais iguais a 1.900,00 . 
A taxa da operação é de mês ao % 1,5 . Como os termos da série dos saques são mensais, então essa é a taxa 
efetiva dessa série. 
 Por outro lado, os termos da série dos saques são trimestrais, portanto a sua taxa efetiva é trimestral e 
equivalente à taxa de mês ao % 1,5 . Logo, se i é a taxa efetiva unitária dessa operação e como 
 
 
12
12
meses 3 trimestre1  , então     trimestreao 045678,0045678,11
3
015,01
1
1  iii ou 
 trimestreao % 5678,4i . 
Pode-se representar este problema através do diagrama abaixo. Nele, as setas para cima representam a renda uniforme 
referente aos depósitos e as setas para baixo a renda uniforme referente aos saques. 
 
 PS  
 
 RR ................................ 
 0 1 2 3 4 (trimestres) 
 0 1 2 3.............6 7 8........... 11........14.........17.........20 (meses) 
 1.900,00. .....................1.900,00.. 
O montante da primeira série tem que ser igual ao valor atual da segunda. Por outro lado sabemos que o valor atual P 
e o montante S de uma série uniforme modelo básico em função dos seus termos R , taxa i e prazo n são dados 
respectivamente por  niFVPRP ,  e  niFVFRS ; . Nesse caso então temos que 
  4 %; 5678,4 1.900,00 e 8 %; 1,5 FVPPFVFRS  . Como PS  então, 
     
 8 %; 1,5 
4 %; 5678,4 1.900,00
4 %; 5678,4 1.900,008 %; 1,5 
FVF
FVP
RFVPFVFR

 . 
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
ni
niFVP


11
 , e    
i
ni
niFVF
11
;

 , então: 
       581839,34 %; 5678,4 
045678,0
4045678,011
4 %; 5678,4 

 FVPFVP e 
      43283988 %; 1,5 
0150
1801501
8 %; 1,5 ,FVF
,
,
FVF 

 . 
Portanto 02,807
432839,8
49,805.6
432839,8
581839,3 1.900,00


 RRR . 
Resposta: R$ 807,02