Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: O ponto de interseção é \( (1, 1) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
20. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 - 3x + 1 \) 
tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
21. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \sqrt{2x + 1} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \). Utilizamos a regra da cadeia para encontrar a 
derivada. 
 
22. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = e^x \) 
no intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \). 
 Resposta: A área é aproximadamente \( 1.71828 \) unidades quadradas. Calculamos a 
integral da função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
23. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = \frac{1}{x} \) e \( y = 
2x \). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (1, 2) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
24. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \infty \). Como a função possui uma descontinuidade 
em \( x = 0 \), a integral é indefinida. 
 
25. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x) = e^x + x^2 \). 
 Resposta: O único ponto crítico é \( x = -2 \). Calculamos a derivada primeira e 
igualamos a zero. 
 
26. Problema: Encontre a inclinação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto 
onde \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A inclinação da reta tangente é \( m = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Calculamos a 
derivada da função e substituímos \( x = \frac{\pi}{4} \).