Problemas de Cálculo e Integração

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o ponto de mínimo é \( x = \frac{2}{3} \). Calculamos a derivada primeira e segunda para 
encontrar os pontos críticos. 
 
58. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int x^2 e^x \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( (x^2 - 2x + 2) e^x + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Utilizamos integração por partes. 
 
59. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = \frac{1}{x} \) e \( y = 
\cos(x) \). 
 Resposta: Os pontos de interseção são aproximadamente \( (0.739, 0.739) \) e \( (2.408, 
0.416) \). Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \). 
 
60. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^4 - 10x^2 + 
1 \) tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
61. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(2x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{x} \). Utilizamos a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
62. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^3 \) 
no intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \). 
 Resposta: A área é \( e - \frac{1}{4} \) unidades quadradas. Calculamos a integral da 
função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
63. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = \ln(x) 
\). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (1, 0) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
64. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} x e^x \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( e - 1 \). Usamos a propriedade da integral definida para 
calcular a área sob a curva.