Exercicios de matematica (156)

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10. Problema: Calcule o produto escalar entre os vetores \( \vec{u} = (2, 3) \) e \( \vec{v} = (-
1, 4) \). 
 Resposta: O produto escalar é 10. Explicação: O produto escalar entre dois vetores \( 
\vec{u} \) e \( \vec{v} \) é dado pela soma dos produtos de suas componentes 
correspondentes. Neste caso, \( 2 \times -1 + 3 \times 4 = -2 + 12 = 10 \). 
 
11. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto (0, 1). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x + 1 \). Explicação: Para encontrar a 
equação da reta tangente, calculamos a derivada da função no ponto dado e utilizamos a 
equação da reta com essa derivada como inclinação. 
 
12. Problema: Encontre o ponto de interseção entre a reta \( y = 3x + 2 \) e a parábola \( y = 
x^2 - 2x + 3 \). 
 Resposta: O ponto de interseção é (-1, -1). Explicação: Igualando as duas equações, 
obtemos \( x^2 - 5x + 5 = 0 \), e resolvendo essa equação quadrática, encontramos x = -1. 
Substituindo este valor em uma das equações, obtemos y = -1. 
 
13. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( -\frac{2}{x^3} \). Explicação: Utilizando a regra do 
quociente e a regra da potência, derivamos a função. 
 
14. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f 
 
(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x \). 
 Resposta: O ponto de máximo ocorre em \( x = 1 \) e o ponto de mínimo em \( x = 3 \). 
Explicação: Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, derivamos a função e 
igualamos a zero. Em seguida, resolvemos para x e determinamos os valores de x 
correspondentes. 
 
15. Problema: Encontre a equação da parábola com vértice em (3, -2) e que passa pelo 
ponto (1, 4). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = -x^2 + 6x - 5 \). Explicação: Utilizando a forma 
geral da equação da parábola \( y = ax^2 + bx + c \), substituímos os valores do vértice para 
encontrar os coeficientes a, b e c. Em seguida, substituímos as coordenadas do ponto 
dado para encontrar o valor de a.