Exercicios de matematica (168)

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Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{6}\ln\left|\frac{x - 3}{x + 3}\right| + C \), onde C 
é uma constante de integração. Explicação: Utilizando a decomposição em frações 
parciais para integrar a função. 
 
87. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área da região é \( e - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Para encontrar a 
área entre duas curvas, calculamos a integral da diferença entre as funções ao longo do 
intervalo de interseção. 
 
88. Problema: Encontre a equação da hipérbole com centro em (0, 0), eixo transverso de 
comprimento 8 e distância focal de 5. 
 Resposta: A equação da hipérbole é \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \). Explicação: 
Utilizando a forma padrão da equação da hipérbole com centro na origem, eixo transverso 
a e eixo conjugado b, substituímos os valores dados na equação. 
 
89. Problema: Determine os valores de x que satisfazem a equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} 
\). 
 Resposta: Os valores de x são \( \frac{\pi}{6} \) e \( \frac{5\pi}{6} \). Explicação: Para 
resolver a equação trigonométrica, utilizamos os valores conhecidos dos ângulos para o 
seno. 
 
90. Problema: Calcule o produto misto entre os vetores \( \vec{u} = (1, 2, -1) \), \( \vec{v} = 
(2, -1, 3) \) e \( \vec{w} = (3, 2, -2) \). 
 Resposta: O produto misto é \( 0 \). Explicação: O produto misto entre três vetores \( 
\vec{u} \), \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \) é dado pelo determinante da matriz formada pelas 
componentes dos vetores. 
 
91. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto (4, 
2). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). Explicação: Para 
encontrar a equação da reta tangente, calculamos a derivada da função no ponto dado e 
utilizamos a equação da reta com essa derivada como inclinação. 
 
92. Problema: Encontre o ponto de interseção entre a reta \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) e a 
circunferência \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5 \).