Cálculo IV - AP3

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Cálculo IV – AP3 – Tutor
Questão 1 [2,5 pts]: Calcule a integral
∫∫
D
(
xy − x3
)
dxdy
sobre a região D, da figura ao lado, de duas maneiras
posśıveis.
x
y
D
1
1
Solução:
Primeira maneira
Descrevendo D como uma região do tipo I temos
{
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x
.
x
y
D
entra em y = 0
sai em y = x
y = x
1
1
Então:
∫∫
D
(
xy − x3
)
dxdy =
∫ 1
0
∫ x
0
(
xy − x3
)
dydx =
=
∫ 1
0
[
xy2
2
− x3y
]x
0
dx =
∫ 1
0
(
x3
2
− x4
)
dx =
=
[
x4
8
−
x5
5
]1
0
=
1
8
−
1
5
=
−3
40
.
Segunda maneira
Descrevendo D como uma região do tipo II temos
{
0 ≤ y ≤ 1
y ≤ x ≤ 1
.
Cálculo IV – AP3 AP3 – Tutor 2
x
y
D
entra em x = y sai em x = 1
1
1
Então:
∫∫
D
(
xy − x3
)
dxdy =
∫ 1
0
∫ 1
y
(
xy − x3
)
dxdy =
=
∫ 1
0
[
x2y
2
−
x4
4
]1
y
dy =
∫ 1
0
[(
y
2
−
1
4
)
−
(
y3
2
−
y4
4
)]
dy =
=
∫ 1
0
(
y
2
−
1
4
−
y3
2
+
y4
4
)
dy =
[
y2
4
−
1
4
y −
y4
8
+
y5
20
]1
0
=
=
1
4
−
1
4
−
1
8
+
1
20
=
−3
40
.
Questão 2 [2,5 pts]: Calcule o trabalho realizado pela força
−→
F (x, y) =
(
e−x2
+ 2x3 − y3, x3 + y3 + cos y3
)
para mover uma part́ıcula ao longo da circunferência x2 + y2 = 1, no sentido anti-horário.
(Sugestão: use o Teorema de Green)
Solução: O trabalho é dado por
W =
∮
C
~F · d~r
onde C é a circunferência x2 + y2 = 1, orientada no sentido anti-horário. Seja D a região de R
2,
limitada por C.
x
y
D
1
1
C = ∂D
Como
−→
F = (P,Q) =
(
e−x2
+ 2x3 − y3, x3 + y3 + cos y3
)
é de classe C1 em R
2 e C = ∂D está
orientada positivamente, então podemos aplicar o Teorema de Green. Tem-se:
∮
C+
−→
F · d−→r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dxdy
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Cálculo IV – AP3 AP3 – Tutor 3
onde
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 3x2 −
(
− 3y2
)
= 3
(
x2 + y2
)
.
Então:
∮
C+
−→
F · d−→r = 3
∫∫
D
(
x2 + y2
)
dxdy .
Passando para coordenadas polares, tem-se:







x = r cos θ
y = r sen θ
dxdy = rdrdθ
x2 + y2 = r2
e a região Drθ é dada por Drθ :
{
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π
. Logo:
∮
C
−→
F · d−→r = 3
∫∫
Drθ
r2 · r drdθ = 3
∫∫
Drθ
r3 drdθ =
= 3
∫ 2π
0
∫ 1
0
r3 drdθ = 3
[
r4
4
]1
0
∫ 2π
0
dθ =
3
4
· 2π =
3π
2
.
Então:
W =
3π
2
u.w.
Questão 3 [2,5 pts]: Mostre que a integral
∫ (3,5,0)
(1,1,2)
yz dx + xz dy + xy dz
é independente do caminho e calcule-a.
Solução: Seja ~F (x, y, z) = (yz, xz, xy) de classe C1 em R
3, que é um conjunto simplesmente
conexo. Além disso temos
rot~F =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
yz xz xy
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (x − x, y − y, z − z) = ~0 .
Logo, pelo teorema das equivalências, segue que a integral de linha é independente do caminho e
também que ~F é conservativo, isto é, existe uma função ϕ(x, y, z) definida em R
3 tal que













∂ϕ
∂x
= yz (1)
∂ϕ
∂y
= xz (2)
∂ϕ
∂z
= xy (3)
.
Vemos que ϕ(x, y, z) = xyz satisfaz (1), (2) e (3). Então, pelo teorema fundamental do cálculo
para integrais de linha, temos que:
∫ (3,5,0)
(1,1,2)
yz dx + xz dy + xy dz = ϕ(3, 5, 0) − ϕ(1, 1, 2) = 0 − 1 · 1 · 2 = −2 .
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Cálculo IV – AP3 AP3 – Tutor 4
Questão 4 [2,5 pts]: Calcule
∫∫
S
→
F ·
→
n ds, sendo
→
F= x3−→i + y3−→j + z3−→k ,
→
n a orientação normal exterior a S e S a superf́ıcie esférica x2 + y2 + z2 = 1.
Solução: O sólido W limitado por S e orientado positivamente, pode ser visualizado na figura a
seguir.
x
y
z
W
−→n
1
1
1
Como estamos nas condições do teorema de Gauss, temos:
∫∫
S
→
F ·
→
n ds =
∫∫∫
W
div
→
F dxdydz =
=
∫∫∫
W
(
3x2 + 3y2 + 3z2
)
dxdydz =
= 3
∫∫∫
W
(
x2 + y2 + z2
)
dxdydz .
Passando para coordenadas esféricas, temos:
∫∫
S
→
F ·
→
n ds = 3
∫∫∫
Q
ρ2 · ρ2 sen φ dρdφdθ = 3
∫∫∫
Q
ρ4 sen φ dρdφdθ
onde
Q =
{
(ρ, φ, θ) ∈ R
3 | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π
}
.
Então
∫∫
S
→
F ·
→
n ds = 3
∫ 1
0
∫ π
0
∫ 2π
0
ρ4 sen φ dθdφdρ =
= 6π
∫ 1
0
∫ π
0
ρ4 sen φ dφdρ = 6π
∫ 1
0
ρ4
[
− cos φ
]π
0
dρ =
= 12π
∫ 1
0
ρ4 dρ =
12π
5
.
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