TRABALHO(AP3) CÁLCULO 2

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO 
RAQUEL RODRIGUES DA SILVA 
MATRÍCULA 5803272 
 
TRABALHO (AP3) 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Magé, 2018.
ENUNCIADO 
 
 Parte 1: CÁLCULO DE ÁREA 
A partir do resumo, resolva as aplicações 1 e 2. 
 
 
 Parte 2: INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
A partir do resumo, resolva as aplicações 3 e 4. 
 
 
 
PARTE 1: CÁLCULO DE ÁREA 
Para determinarmos áreas de regiões curvas devemos utilizar técnicas de 
integração em determinados intervalos de tempo. Esse tipo de integração se 
realiza utilizando as propriedades e definições da Integral de Riemann 
. 
 
1) Determinar a ÁREA da região limitada entre as curvas abaixo: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟔 
∫ 𝒙 + 𝟔 𝒅𝒙 = 
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟔𝒙
𝟑
−𝟐
 
(𝟑)𝟐
𝟐
+ 𝟔. 𝟑 = 
𝟗
𝟐
+ 𝟏𝟖 = 
𝟒𝟓
𝟐
 
(−𝟐)𝟐
𝟐
+ 𝟔. (−𝟐) = 𝟐 − 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 
𝟒𝟓
𝟐
− (−𝟏𝟎) = 
𝟔𝟓
𝟐
 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 Á𝒓𝒆𝒂 = 
𝟔𝟓
𝟐
−
𝟑𝟓
𝟑
= 
𝟏𝟗𝟓−𝟕𝟎
𝟔
= 
𝟏𝟐𝟓
𝟔
 
∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 
𝒙𝟑
𝟑
𝟑
−𝟐
 
(𝟑)𝟑
𝟑
= 𝟗 
(−𝟐)𝟑
𝟑
= 
−𝟖
𝟑
 
𝟗 − (−
𝟖
𝟑
) = 
𝟑𝟓
𝟑
 
 
 
3 
 
2) Determinar a ÁREA da região limitada entre as curvas abaixo: 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝟒 
∫ 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟒𝒙
𝟐
−𝟐
 
𝟒. 𝟐 = 𝟖 
𝟒. (−𝟐) = −𝟖 
𝟖 − (−𝟖) = 𝟏𝟔 
Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟏𝟔 − 
𝟏𝟔
𝟑
= 
𝟒𝟖 − 𝟏𝟔
𝟑
= 
𝟑𝟐
𝟑
 
 
𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 
∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 
𝒙𝟑
𝟑
𝟐
−𝟐
 
(𝟐)𝟑
𝟑
= 
𝟖
𝟑
 
(−𝟐)𝟑
𝟑
= 
−𝟖
𝟑
 
𝟖
𝟑
− (−
𝟖
𝟑
) = 
𝟏𝟔
𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
PARTE 2: INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
3) Calcule 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 (𝑐𝑜𝑠2𝑥)2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑢4(1 − 𝑢2)2𝑑𝑢 
∫ 𝑢4(1 − 2𝑢 + 𝑢4)𝑑𝑢 
∫ 𝑢4 − 2𝑢6 + 𝑢8 𝑑𝑢 
∫
𝑢5
5
−
2𝑢7
7
+
𝑢9
9
+ 𝐶 
 
= 
𝑠𝑒𝑛2𝑥
5
−
2𝑠𝑒𝑛7𝑥
7
+
𝑠𝑒𝑛9𝑥
9
+ 𝐶 
 
 
 
 
 
5 
 
4) 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑢2(1 − 𝑢2)𝑑𝑢 
∫ 𝑢2 − 2𝑢4𝑑𝑢 
∫
𝑢3
3
−
2𝑢5
5
+ 𝐶 
= 
𝑠𝑒𝑛3𝑥
3
−
2𝑠𝑒𝑛5𝑥
5
+ 𝐶