AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (59)

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MA22 - Unidade 17 - Parte 2
O conceito de integral
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
3 de junho de 2013
A integral definida
∫ b
a
f (x) dx
Gostaŕıamos de dizer que a integral definida da função
f : [a, b] −→ R é o limite das suas Somas de Riemann quando as
normas das partições tendem à zero:∫ b
a
f (x) dx = lim
‖P‖→0
S(f ,P).
Há dificuldades técnicas, pois não de trata de limite de
sequência e o limite de função.
Devemos fazer restrições para que o assunto possa ser tratado
no ńıvel de um livro de cálculo.
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Definição de integral definida
Assumindo que as a função f seja cont́ınuas e positiva, isto é,
assumindo que f : [a, b] −→ R é cont́ınua e f (x) ≥ 0, para todo
x ∈ [a, b], pode-se provar que:
O conjunto das Somas de Riemann de f relativas a uma
partição P, variando sobre as escolhas dos pontos ci ’s, é
limitado por uma Soma de Riemann ḿınima e outra máxima.
Se Q for uma partição de [a, b] obtida de P pela adição de
um ponto extra, então a Soma de Riemann ḿınima de Q será
maior ou igual à Soma de Riemann ḿınima de P e a Soma
de Riemann máxima de Q será menor ou igual a de P.
Quando ‖ P ‖→ 0, então a Soma de Riemann ḿınima de P
convergirá para a Soma de Riemann máxima de P.
Este número será chamado a integral definida de f em [a, b] e
denotado
∫ b
a
f (x) dx .
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Exemplo
Calcule a integral da função constante
∫ b
a k dx .
Seja f : [a, b] −→ R a função constante f (x) = k , para todo
x ∈ [a, b].
Então, se P é uma partição de [a, b] e ci é uma escolha
qualquer de pontos ci ∈ [xi−1, xi ], a Soma de Riemann de f
associada é
S(f ,P) =
n∑
i=1
f (ci ) ∆xi =
n∑
i=1
k ∆xi = k
n∑
i=1
∆xi = k (b−a).
Portanto,∫ b
a
k dx = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
f (ci ) ∆xi = lim
‖P‖→0
k (b−a) = k (b−a).
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Integral de funções cont́ınuas quaisquer
Dada uma função f : [a, b] −→ R cont́ınua, existem duas
funções f+ : [a, b] −→ R e f− : [a, b] −→ R, ambas cont́ınuas,
tais que f (x) = f+(x) + f−(x), f+(x) ≥ 0 e f−(x) ≤ 0, para
todo x ∈ [a, b].
Completamos a definição de integral para funções cont́ınuas
quaisquer com as duas definições seguintes:
Se f : [a, b] −→ R é uma função tal que f (x) ≤ 0, para todo
x ∈ [a, b], tomamos g = −f e definimos∫ b
a
f (x) dx := −
∫ b
a
g(x) dx .
No caso geral, definimos∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
f+(x) dx +
∫ b
a
f−(x) dx .
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Duas extensões da definição de integral
Seja f : [a, b] −→ R uma função cont́ınua. É conveniente
convencionar as seguintes afirmações:
Seja c um ponto de [a, b]. Então
∫ c
c
f (x) dx = 0.
∫ a
b
f (x) dx = −
∫ b
a
f (x) dx .
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Propriedades das integrais definidas - I
Proposição (Propriedade 1)
Seja f : I −→ R uma função cont́ınua definida em intervalo I.
Se a, b e c ∈ I , então∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx .
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Propriedades das integrais definidas - II
Proposição
Sejam f , g : [a, b] −→ R funções cont́ınuas, k ∈ R e uma
constante. Então
(i)
∫ b
a
(f + g)(x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g(x) dx;
(ii)
∫ b
a
(kf )(x) dx = k
∫ b
a
f (x) dx.
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Interpretação geométrica da integral
a
bR1
R2
R3
R4
R5
R6
∫ b
a
f (x) dx = A(R1)− A(R2) + A(R3)− A(R4) + A(R5)− A(R6).
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