Cálculo IV - Questões Resolvidas

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Cálculo IV – AD2 – Tutor
Questão 1 [2,5 pts]: Considere o campo vetorial ~F(x, y, z) =
(
x2y6 , −axy , 2z4
)
, a > 0, atuando
sobre uma part́ıcula que se move do ponto (0, 0, 0) a (2, 1, 1), sobre a curva C obtida como interseção
das superf́ıcies x = 2y3 e z = y. Calcule o valor de a de modo que o trabalho realizado por ~F(x, y, z)
seja nulo.
Solução: O trabalho realizado por ~F ao longo de C é dado por
W =
∫
C
~F · d~r =
∫
C
x2y6 dx − axy dy + 2z4 dz,
onde C é dada por:
y = t , z = t , x = 2t3 , 0 ≤ t ≤ 1.
Temos dy = dt , dz = dt , dx = 6t2 dt. Então:
W =
∫ 1
0
[
(2t3)2t6 · 6t2 − a · 2t3 · t + 2t4
]
dt
=
∫ 1
0
(
24t14 − 2at4 + 2t4
)
dt =
[
24t15
15
−
2at5
5
+
2t5
5
]1
0
=
8
5
−
2a
5
+
2
5
= 2 −
2a
5
.
Assim, W = 0⇐⇒ 2 −
2a
5
= 0⇐⇒ 10 − 2a = 0⇐⇒ a = 5.
Portanto, para a = 5 teremos trabalho nulo.
Questão 2 [2,5 pts]: Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
~F(x, y) =
(
2xey − x2y −
y3
3
, x2ey + sen y
)
,
para mover uma part́ıcula ao longo da trajetória C : ~r(t) = (1 + cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ π.
Solução: Temos W =
∫
C
~F · d~r =
∫
C
(
2xey − x2y −
y3
3
)
dx +
(
x2ey + sen y
)
dy, onde C é dada por
x = 1 + cos t , y = sen t , 0 ≤ t ≤ π.
O ponto inicial de C é ~r(0) = (2, 0) e o ponto final é r(π) = (0, 0). Das equações paramétricas de C
temos (x − 1)2 + y2 = 1.
Portanto, C é uma semi-circunferência de centro (1, 0) e raio 1, percorrida no sentido anti-horário.
Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 2
x
y
(1, 0)(0, 0) (2, 0)
C
Consideremos C = C ∪ C1, com C1 dada por y = 0, 0 ≤ x ≤ 2, donde dy = 0. Seja D ⊂ R2 a região
compacta tal que ∂D = C.
x
y
C
C1
Como ~F = (P,Q) =
(
2xey − x2y −
y3
3
, x2ey + sen y
)
é de classe C1 em R2 e C = ∂D está orientada
positivamente, então, pelo Teorema de Green, temos�
C=∂D+
~F · d~r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dx dy =
∫∫
D
(2xey − 2xey + x2 + y2) dx dy =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy.
Passando para coordenadas polares, temos:
x = r cos θ , y = r sen θ , dx dy = r dr dθ , x2 + y2 = r2
e
Drθ : 0 ≤ θ ≤
π
2
, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ.
Então,∫∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫∫
Drθ
r2 · r dr dθ =
∫∫
Drθ
r3 dr dθ
=
∫ π/2
0
∫ 2 cos θ
0
r3 dr dθ =
∫ π/2
0
[
r4
4
]2 cos θ
0
dθ = 4
∫ π/2
0
cos4 θ dθ
= 4
∫ π/2
0
(
1 + cos 2θ
2
)2
dθ =
1
2
∫ π/2
0
(
1 + 2 cos 2θ + cos2 2θ
)
d(2θ)
=
1
2
[
2θ + 2 sen 2θ +
1
2
(
2θ +
sen 4θ
2
)]π/2
0
=
1
2
[
3θ + 2 sen 2θ +
sen 4θ
4
]π/2
0
=
1
2
·
3π
2
=
3π
4
.
Substituindo acima, temos:�
∂D+
~F · d~r =
3π
4
ou
∫
C
~F · d~r +
∫
C1
~F · d~r =
3π
4
.
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Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 3
Mas ∫
C1
~F · d~r =
∫
C1
P dx + Q dy︸︷︷︸
=0
=
∫ 2
0
P(x, 0) dx
=
∫ 2
0
(
2xe0 − 0 − 0
)
dx =
∫ 2
0
2x dx =
[
x2
]2
0
= 4.
Assim, ∫
C
~F · d~r =
3π
4
− 4,
donde
W =
3π
4
− 4 u.w.
Questão 3 [2,5 pts]: Considere a função f (x, y, z) =
(
z +
π
2
)
e(sen x)·(cos y). Seja C a curva parame-
trizada por ~r(t) =
(
t cos2(2t) , t sen t , t
)
, com 0 ≤ t ≤
π
2
. Calcule a integral
∫
C
∂ f
∂x
dx+
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz.
Solução: Seja ~F = (P,Q,R) =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂x
,
∂ f
∂x
)
= ∇ f , que é de classe C1 em R3, pois f é de classe
C2 em R3.
Como ~F = ∇ f , então ~F é um campo conservativo e f é uma função potencial para ~F.
Assim, pelo Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, temos∫
C
~F · d~r = f
(
~r (π/2)
)
− f
(
~r(0)
)
,
onde
~r (π/2) =
(
π
2
cos2 π ,
π
2
sen
π
2
,
π
2
)
=
(
π
2
,
π
2
,
π
2
)
e
~r(0) = (0, 0, 0).
Logo, ∫
C
~F · d~r = f
(
π
2
,
π
2
,
π
2
)
− f (0, 0, 0)
=
(
π
2
+
π
2
)
e(sen π
2 )·(cos π
2 ) −
(
0 +
π
2
)
e(sen 0)·(cos 0)
= π e0 −
π
2
e0 =
π
2
.
Portanto,
∫
C
~F · d~r =
π
2
.
Questão 4 [2,5 pts]: Seja S a parte da superf́ıcie esférica x2 + y2 + z2 = a2, com a > 0,
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Cálculo IV – AD2 AD2 – Tutor 4
compreendida entre seus paralelos contidos nos planos z =
h
2
e z = −
h
2
, 0 < h < 2a. Determine a
área de S .
Solução: O esboço de S é:
x y
z
h
2
− h
2
aa
φ0
S =⇒ cos φ0 =
h/2
a
=
h
2a
=⇒ φ0 = arccos
h
2a
.
Por simetria, temos S = S 1 ∪ S 2, A(S 1) = A(S 2) e A(S ) = 2 A(S 1), onde S 1 é dada por
S 1 : ~r(φ, θ) = (a sen φ cos θ , a sen φ sen θ , a cos φ),
com
(φ, θ) ∈ D : arccos
h
2a
≤ φ ≤
π
2
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Temos A(S 1) =
∫∫
D
∥∥∥~rφ × ~rθ∥∥∥ dφ dθ, onde
∥∥∥~rφ × ~rθ∥∥∥ = a2 sen φ. Logo,
A(S 1) = a2
∫∫
D
sen φ dφ dθ = a2
∫ π/2
arccos h
2a
sen φ
∫ 2π
0
dθ dφ
= 2πa2
∫ π/2
arccos h
2a
sen φ dφ = 2πa2
[
− cos φ
]π/2
arccos
h
2a
= 2πa2
(
0 + cos
(
arccos
h
2a
))
= 2πa2 ·
h
2a
= π a h.
Logo, A(S ) = 2π a h u.a.
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