02 Funções_Notas de aulas_2024 1

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CÁLCULO I – 2024.1 
Prof. Bruno Bragança 
 
FUNÇÕES 
DEFINIÇÕES 
Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade é determinada por outra 
quantidade, de maneira única. 
Uma função 𝑓 é uma lei a qual para cada elemento 𝑥 em um conjunto 𝐴 faz corresponder exatamente um 
elemento chamado de 𝑓(𝑥), em um conjunto 𝐵. 
 
Em nosso curso trabalharemos com funções reais de uma variável. 
Sejam 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ. Uma função 𝑓 definida em 𝐴 e com valores em 𝐵 é uma regra/lei que associa a cada elemento 
𝑥 ∈ 𝐴 um único elemento 𝑦 ∈ 𝐵. 
O conjunto 𝐴 é chamado domínio da função f, às vezes denotado também por 𝐷𝑓 , e o conjunto 𝐵 é chamado 
contradomínio da função 𝑓. 
As notações usuais são: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) e dizemos que este 𝑦 é a imagem de 𝑥 por 𝑓. 
Definimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função 𝑓: 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ 𝐵 | 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴} 
O número 𝑥 é chamado de variável independente da função e 𝑦 variável dependente da função. 
Uma função 𝑓 está bem definida quando explicitamos seu domínio, contradomínio e regra 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥). No 
entanto, é comum falarmos de uma função 𝑓 explicitando apenas sua regra. Neste caso, convenciona-se que o 
contradomínio é ℝ e o domínio é o maior subconjunto de ℝ ao qual podemos aplicar a regra 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥). Este 
último conjunto é chamado domínio da função e trataremos sobre ele um pouco mais à frente. 
Duas funções são idênticas se tem o mesmo domínio 𝐷 e 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐷. 
Uma forma de representarmos uma função é algebricamente através de uma “fórmula”/expressão que dirá 
como relacionar cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio. Estudar funções 
explicitadas dessa forma, através de novas ferramentas, é o objetivo da nossa disciplina. 
Uma outra forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de fechas, como ilustrado a seguir 
 
 
 
Podemos ainda representar uma função através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte 
tabela, que, embora não tenha uma regra explícita, ainda assim a relação entre dia e valor da compra é uma 
função. 
 
Contudo, tanto o diagrama de fechas quanto a tabela de valores não são eficientes para representar uma função 
cujo domínio é um conjunto infinito. Por isso, a representação gráfica de uma função é a melhor forma de 
visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a 
definição de gráfico de uma função: 
Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 uma função. O gráfico de 𝑓, denotado por 𝐺𝑓, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano 
𝐴 × 𝐵: 
𝐺𝑓 = {(𝑥, 𝑓(𝑥)) ∈ 𝐴 × 𝐵|𝑥 ∈ 𝐴} 
 
O gráfico também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função 𝑓 sobre os eixos 
 
Nem toda curva no plano coordenado pode ser o gráfico de uma função. Uma função 𝑓 pode possuir apenas um 
valor de 𝑓(𝑥) para cada 𝑥 em seu domínio, de modo que nenhuma reta vertical pode ter mais de uma 
intersecção com o gráfico de uma função. 
 
 
 
𝐷𝑓 = [1, 4] 
 
𝐼𝑚𝑓 = [1, 4] 
Na figura abaixo a curva à esquerda representa e o gráfico de uma função e a curva à direita não pode 
representar o gráfico de uma função. 
 
 
Exemplo 01. 
(a) Se 𝑎 e ℎ são reais, determine e simplifique 𝑓(2), 𝑓(−3), 𝑓(𝑎), 𝑓(−ℎ), 𝑓(𝑎 − ℎ) 𝑒 
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
 sabendo 
que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 3. Determine também 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 3. 
 
(b) O gráfico de uma função f está mostrado ao lado. 
i) Encontre os valores de 𝑓(1) e 𝑓(5). 
ii) Encontre o elemento do domínio que possui imagem 4 
iii) Quais são o domínio e a imagem de 𝑓? 
 
 
 
(c) Uma caixa de armazenamento retangular aberta na parte superior tem um volume de 10 𝑚3. O 
comprimento da base é o dobro de sua largura. O material da base custa 𝑅$10 por metro quadrado, ao 
passo que o material das laterais custa 𝑅$ 6 por metro quadrado. Expresse o custo total do material como 
uma função do comprimento da base. 
 
DOMÍNIO 
Como visto, uma função 𝑓 é como uma máquina que produz um valor de saída 𝑓(𝑥) em sua imagem sempre 
que inserimos um valor de entrada 𝑥 a partir de seu domínio. Fica evidente que é fundamental determinar, 
exatamente qual valor entrada pode ser inserido na máquina, caso contrário, com certeza, a estragaremos. 
Verifiquemos os domínios e as imagens associadas de algumas funções simples. Os domínios, em cada caso, são 
os valores de 𝑥 para os quais a fórmula faz sentido. 
 
Exemplo 02. Vejamos como determinar o domínio de mais algumas funções. É importante que você esteja 
atento à “possibilidade” de realização das operações. O que estamos querendo dizer pode ser exemplificado 
com a terceira função apresentada no quadro acima. Observe que para encontrarmos o valor da função para 
um determinado 𝑥 precisamos extrair a raiz quadrada desse valor, mas sabemos que apenas os números não 
negativos possuem raiz quadrada dentro dos números reais, portanto o domínio dessa função foi definido como 
[0, +∞). 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
(b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
 
(c) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 7 
(d) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
√𝑥−2
 
 
MAIS ALGUMAS DEFINIÇÕES E ANÁLISE DE GRÁFICO 
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
Uma função 𝑓 é chamada crescente em um intervalo 𝐼 se 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) quando 𝑥1 < 𝑥2 em 𝐼. 
Uma função 𝑓 é chamada decrescente em um intervalo 𝐼 se 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) quando 𝑥1 < 𝑥2 em 𝐼. 
Ainda, uma função 𝑓 é chamada constante em um intervalo 𝐼 se 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) quando 𝑥1 < 𝑥2 em 𝐼. 
 
RAÍZES 
Se 𝑓(𝑎) = 0 então 𝑎 é raiz da função 𝑓. 
 
ESTUDO DE SINAL 
Estudar o sinal de uma função 𝑓 consiste em determinar os valores de 𝑥 do domínio da função para os quais 
𝑓(𝑥) > 0, 𝑓(𝑥) < 0, e 𝑓(𝑥) = 0 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
Seja 𝑐 um número no domínio 𝐷 de uma função 𝑓. Então 𝑓(𝑐) é o valor máximo absoluto de 𝑓 em 𝐷 se 𝑓(𝑐) ≥
𝑓(𝑥) para todo 𝑥 em 𝐷. E é o valor mínimo absoluto de 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥). 
O número 𝑓(𝑐) é um valor máximo local de 𝑓 se 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) quando 𝑥 está próximo de 𝑐. E é um valor mínimo 
local de 𝑓 se 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) quando 𝑥 está próximo de 𝑐. 
 
CONCAVIDADE 
Se o gráfico de 𝑓 estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo 𝐼, então 𝑓 é chamada côncava para cima 
em 𝐼. Se o gráfico de 𝑓 estiver abaixo de todas as suas tangentes em 𝐼, então 𝑓 é chamada côncava para baixo 
em 𝐼. 
Um ponto 𝑃 na curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) é chamado ponto de inflexão se a curva mudar de côncava para cima para 
côncava para baixo ou vice-versa em P. 
 
Exemplo 03. Utilizemos o gráfico da função 𝑓, apresentado abaixo, para obter seu (a) domínio e imagem, (b) 
suas raízes, (c) seu estudo de sinal, (d) seus intervalos de crescimento ou decrescimento, (e) seus pontos de 
máximo e mínimo, (f) suas concavidades e (g) seus pontos de inflexão. 
 
 
 
ALGUNS MODELOS E DEFINIÇÕES 
Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos, a 
seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo do curso. 
 
FUNÇÕES POLINÔMIAIS 
É uma função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0, 
onde 𝑎0, 𝑎1, …, 𝑎𝑛 (𝑎𝑛 ≠ 0), são número reais chamados de coeficientes e 𝑛, inteiro não negativo, determina o 
grau da função. 
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. 
O domínio é sempre o conjunto dos números reais. 
Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito conhecidas. A 
seguir mostraremos algumas dessas funções e seus respectivos gráficos. 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
01. Definição 
 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ 
02. Gráfico 
 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos 𝑥 passando pelo ponto (0, 𝑘). 
03. Imagem 
 A imagem é o conjunto 𝐼𝑚 = {𝑘} 
 
Exemplo 04. Esbocemos os gráficos das funções abaixo:(a) 𝑓(𝑥) = 3 
(b) 𝑔(𝑥) = −2 
(c) ℎ(𝑥) = 0 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU AFIM 
01. Definição 
 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 
Casos específicos 
 Função constante: 𝑓(𝑥) = 𝑏 
 Função linear: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 Uma função linear com coeficiente angular positivo é chamada de relação de proporcionalidade 
 Função identidade: 𝑓(𝑥) = 𝑥 
02. Gráfico 
 O gráfico é uma reta. 
Lembre-se: uma reta fica bem definida por dois pontos. 
Exemplo 05. Esbocemos os gráficos das funções abaixo 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 
(b) 𝑔(𝑥) = 4 − 2𝑥 
(c) ℎ(𝑥) = 𝑥 
03. Crescimento e decrescimento 
 Se 𝑎 > 0 então a função é crescente e se 𝑎 < 0 então a função é decrescente. 
04. Imagem 
 É o conjunto 𝐼𝑚 = ℝ. 
05. Coeficientes 
 O coeficiente 𝑎 é chamado coeficiente angular ou declividade / inclinação e o coeficiente 𝑏 é o coeficiente 
linear. 
 𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
= tg 𝛼, sendo 𝛼 o ângulo determinado pelo gráfico e o eixo dos 𝑥. 
06. Raiz ou zero 
 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 é a raiz da função. 
07. Estudo / variação de sinal 
 Para analisarmos a variação do sinal da função afim podemos “esboçar” o gráfico especificando apenas a raiz 
da função e seu crescimento ou decrescimento. 
 
 
Construindo o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0, e lembrando que não importa a posição do eixo 𝑦, temos: 
 
 Construindo o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 < 0, e lembrando que não importa a posição do eixo 𝑦, 
temos: 
 
Exemplo 06. Determine o conjunto solução das seguintes inequações: 
(a) 7 − 2𝑥 > 3 ⋅ (𝑥 + 5) 
(b) 
𝑥−5
3−𝑥
> 0 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA 
01. Definição 
 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0 
02. Gráfico 
 O gráfico é uma parábola. 
 Se 𝑎 > 0 então a concavidade da parábola está voltada para cima (na figura abaixo, gráfico à esquerda) e se 
𝑎 < 0 então a concavidade está voltada para baixo (na figura abaixo, gráfico à direita). 
 
03. Zeros os raízes 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, 𝑐𝑜𝑚 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
são os zeros ou raízes da função. 
 Se ∆ > 0 então 𝑓 terá duas raízes reais e distintas, se ∆ = 0 então 𝑓 terá duas raízes reais e iguais e se 
∆ < 0 então 𝑓 não terá raízes. 
04. Soma e produto 
 −
𝑏
𝑎
 = soma das raízes (reais ou não) e 
𝑐
𝑎
= produto das raízes (reais ou não) 
05. O vértice 
 O vértice da parábola é o ponto (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) = (−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
) 
06. Imagem 
 A imagem é o conjunto 𝐼𝑚 = [𝑦𝑣, + ∞[, 𝑠𝑒 𝑎 > 0 e 𝐼𝑚 = ]−∞, 𝑦𝑣], 𝑠𝑒 𝑎 < 0 
07. Ponto de máximo e mínimo 
 A função possui um valor máximo = 𝑦𝑣, logo um ponto de máximo = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣), quando 𝑎 < 0 e mínimo = 𝑦𝑣, 
logo, ponto de mínimo = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣), quando 𝑎 > 0. 
 
08. Eixo de simetria 
 O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x que passa pelo seu 
vértice e tem equação 𝑥 = 𝑥𝑣. 
09. Estudo / variação de sinal 
 
Exemplo 07. 
(a) Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8, determine seu conjunto imagem e faça o estudo de sinal 
da função. 
(b) Resolva as seguintes inequações: 
i) 6𝑥2 − 5𝑥 + 1 ≥ 0 ii) (5 − 3𝑥) ⋅ (−𝑥2 + 5𝑥 − 6) < 0 
 
+
 
+ 
− +
 +
 
+
 
+
 
+
 
+
 −
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
(c) Um campo petrolífero tem 20 poços e vem produzindo 6.000 barris/dia de petróleo. Para cada novo poço 
perfurado, a produção diária de cada poço decai de 10 barris. Determine o número de novos poços que 
devem ser perfurados para maximizar a produção diária do campo petrolífero. 
 
FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES 
Uma função 𝑓 pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma das quais está ligada a um domínio 𝐷𝑖 
contido no domínio da 𝑓. 
Vejamos dois exemplos e seus respectivos gráficos: 
01) Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) = {
1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 2
3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
Sua imagem é o intervalo [1, 3]. Graficamente temos: 
 
02) Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < −1
𝑥2 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1
 
Sua imagem é o intervalo [−1, +∞). Graficamente temos: 
 
 
FUNÇÃO MODULAR 
É importante lembrar que, pela definição de módulo, temos que: 
1º) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; 
2º) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número. 
 
 
𝑓(𝑥) = |𝑥| = {
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
 
 
 
Exemplo 08. Represente, as seguintes funções, utilizando “ a função por partes”. 
(a) 𝑓(𝑥) = |−2𝑥 − 5| 
(b) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 4𝑥 + 3| 
 
FUNÇÃO POTÊNCIA 
01. Definição 
Uma função da forma 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎 , onde 𝑎 é uma constante, é chamada função potência. Vamos considerar 
vários casos. 
02. Casos específicos 
(i) 𝑎 = 𝑛, onde 𝑛 é um inteiro positivo. 
 
(ii) 𝑎 = 1/𝑛, onde 𝑛 é um inteiro positivo (Função Raiz) 
 
(iii) 𝑎 = −1 (Função recíproca) 
Variáveis relacionadas são grandezas inversamente proporcionais. 
 
 
 
 
FUNÇÕES RACIONAIS 
Uma função racional 𝑓 é a razão de dois polinômios: 
𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
em que 𝑃 e 𝑄 são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de 𝑥 tais que 𝑄(𝑥) ≠ 0. 
A função 𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 1)⁄ é uma função racional, cujo domínio ℝ − {−1}. Graficamente temos: 
 
Exemplo 09. Esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 8
𝑥 + 2⁄ . 
 
ÁLGEBRA DE FUNÇÕES (ou FUNÇÕES ALGÉBRICAS) 
Sejam 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) funções. Temos: 
01) Adição e subtração de funções: (𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 
02) Multiplicação de funções: (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 
03) Divisão de funções: (
𝑓
𝑔⁄ ) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)⁄ , 𝑠𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0 
Os domínios das funções adição, subtração e multiplicação é dado pela intersecção dos domínios das funções 
envolvidas, ou seja, 𝐷𝑓±𝑔 = 𝐷𝑓∙𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔. 
Já o domínio da função divisão é dado por 𝐷𝑓
𝑔
= (𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔) − {𝑥 ∈ 𝐷𝑔|𝑔(𝑥) = 0} 
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES 
Deslocamentos Verticais e Horizontais: Suponha 𝑐 > 0. Para obter o gráfico de: 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑐, desloque o gráfico de 𝑓(𝑥) 
em 𝑐 unidades para cima; 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑐, desloque o gráfico de 𝑓(𝑥) 
em 𝑐 unidades para baixo; 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑐), desloque o gráfico de 𝑓(𝑥) 
em 𝑐 unidades para a esquerda; 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐), desloque o gráfico de 𝑓(𝑥) 
em 𝑐 unidades para a direita. 
 
 
 
 
Reflexões e Expansões Verticais e Horizontais: Suponha 𝑐 > 1. Para obter o gráfico de: 
𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥), expanda / estique o gráfico de 𝑓(𝑥) 
verticalmente por um fator 𝑐; 
𝑔(𝑥) = (1
𝑐⁄ )𝑓(𝑥), comprima o gráfico de 𝑓(𝑥) 
verticalmente por um fator 𝑐; 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐𝑥), comprima o gráfico de 𝑓(𝑥) 
horizontalmente por um fator 𝑐; 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥
𝑐⁄ ), expanda / estique o gráfico de 𝑓(𝑥) 
horizontalmente por um fator 𝑐; 
𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥), reflita o gráfico de 𝑓(𝑥) em torno do 
eixo 𝑥. 
𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥), reflita o gráfico de 𝑓(𝑥) em torno do 
eixo 𝑦. 
 
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 
Em nosso curso, utilizaremos algumas operações entre funções. Note que 
podemos escrever 𝑦 em função de 𝑥 quando, 𝑦 = 𝑓(𝑢) (𝑦 é uma função de 𝑢) e 
𝑢 = 𝑔(𝑥) (𝑢 é uma função de 𝑥), a partir da substituição de uma função na outra. 
A este método, denominamos composição de funções. 
Dada duas funções 𝑓 e 𝑔, tal que a imagem de 𝑔 é subconjunto do domínio de 𝑓, 
a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔 (também chamada de 
composição de 𝑓 e 𝑔) é definida por (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). 
Em geral 𝑓(𝑔(𝑥)) ≠ 𝑔(𝑓(𝑥)) e ainda 𝑓 ∘ 𝑓−1 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑥. 
 
Exemplo 10. 
(a) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3, encontre as funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑔 ∘ 𝑓, 𝑓 ∘ 𝑓 e 𝑔 ∘ 𝑔. 
(b) Dada 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 9), encontre as funções 𝑓 e 𝑔 tais que 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝐹 
(c) Dada 𝐹(𝑥) = 𝑡𝑔2(𝑠𝑒𝑛 (𝑥)), encontre as função 𝑓, 𝑔 e ℎ tais que𝑓 (𝑔(ℎ(𝑥))) = 𝐹(𝑥) 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
01. Definição 
 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 ≠ 1 
02. Gráficos 
A imagem de 𝑓 é 𝐼𝑚𝑓 = (0, +∞) 
 
03. O número 𝑒 
lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
≈ 2,718281828459045235360287471352662497757. .. 
 
04. Propriedades 
As principais propriedades da função exponencial, conhecidas como propriedades da potência, serão muito 
úteis em nosso estudo. São elas: 
(𝑃1) 𝑎𝑥+𝑦 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦 
(𝑃2) 𝑎𝑥−𝑦 =
𝑎𝑥
𝑎𝑦 
(𝑃3) 𝑎𝑥∙𝑦 = (𝑎𝑥)𝑦 
(𝑃4) 𝑎−𝑥 =
1
𝑎𝑥 
(𝑃5) 𝑎
𝑥
𝑦 = √𝑎𝑥𝑦
Exemplo 11. 
Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , verifique que 𝑓(𝑥 + 3) − 𝑓(𝑥 − 1) =
15
2
 𝑓(𝑥). 
 
FUNÇÃO INVERSA 
Função Bijetora: uma função 𝑓 é chamada função bijetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes; isto 
é, 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2 e se o conjunto imagem é igual ao contradomínio. 
01. Definição 
Função inversa: seja 𝑓 uma função bijetora com domínio 𝐴 e imagem 𝐵. Então, a sua função inversa 𝑓−1 tem 
domínio 𝐵 e imagem 𝐴 e é definida por 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑦 para todo 𝑦 em 𝐵. 
02. Como encontrar a função inversa 
1º) Escreva 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
2º) Isole 𝑥 nessa equação, escrevendo-o em termos de 𝑦 (quando possível). 
3º) Para expressar 𝑓−1 como uma função de 𝑥, troque 𝑥 por 𝑦. A equação resultante é 𝑦 = 𝑓−1(𝑥). 
03. Gráfico 
O gráfico de 𝑓−1(𝑥) é simétrico ao gráfico de 𝑓(𝑥) em relação à reta 𝑦 = 𝑥 
 
Exemplo 12. Encontre 𝑓−1(𝑥) das seguintes funções, supondo-as bijetoras. 
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
3 + 2𝑥⁄ 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
01. Definição 
 𝑓: ℝ+
∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, 0 < 𝑎 ≠ 1 
02. Logaritmo 
 log𝑎 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎𝑦 = 𝑥 
03. Gráficos 
 
04. Consequências e Propriedades 
C1. log𝑎 𝑎 = 1 P1. log𝑎 𝑥. 𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 
C2. log𝑎 1 = 0 P2. log𝑎 𝑥/𝑦 = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 
C3. log𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥 P3. log𝑎 𝑥𝑦 = 𝑦𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 
C4. 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 P4. log𝑎𝑦 𝑥 =
1
𝑦
log𝑎 𝑥 
 P5. log𝑎 𝑥 = (log𝑏 𝑥)/(log𝑏 𝑎) 
05. Logaritmo Natural 
Quando a base 𝑎 é igual a 𝑒 temos log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 
 
 
06. Relação entre 𝑎𝑥 e 𝑒𝑥 
𝑎𝑥 = (𝑒ln 𝑎)
𝑥
 
 
 
 
Exemplo 13. 
(a) Apresente o desenvolvimento logarítmico da expressão 
log
(√𝑎 ∙ 𝑏3)
𝑐 ∙ 𝑑2 
(b) Dada 𝑓(𝑥) = ln
1−𝑥
1+𝑥
, verifique a igualdade 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑓 (
𝑎+𝑏
1+𝑎𝑏
) 
 
 
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 
01) Uma função 𝑓 é dita par se, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 então −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
02) Uma função 𝑓 é dita ímpar se, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 então −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos 𝑦 e o gráfico de uma função ímpar é simétrico 
em relação à origem. 
Há também funções que não são pares e nem ímpares. 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
TRIÂNGULO RETÂNGULO E AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Considere o triângulo retângulo a seguir: 
 
Fixando um ângulo agudo �̂�, temos as relações a seguir: 
1ª) Seno de um ângulo (𝑠𝑒𝑛(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)) agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 
2ª) Cosseno de um ângulo (𝑐𝑜𝑠(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)) agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. 
3ª) Tangente de um ângulo (tg(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)) agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente 
ao ângulo. 
Temos ainda as razões inversas, ou seja: 
1ª) Cossecante de um ângulo (𝑐𝑠𝑐(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)) é o inverso do seno desse ângulo. 
2ª) Secante de um ângulo (𝑠𝑒𝑐(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)) é o inverso do cosseno desse ângulo. 
3ª) Cotangente de um ângulo (𝑐𝑜𝑡𝑔(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)) é o inverso da tangente desse ângulo. 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
Dado um número real 𝜃, considere o ângulo orientado, em sentido 
anti-horário a partir do semi-eixo positivo do eixo das abscissas, 
cuja medida em radianos é 𝜃, e 𝑃(𝑥, 𝑦) a intersecção do lado 
terminal desse ângulo com o círculo unitário 𝑥2 + 𝑦2 = 1 
Definimos o cosseno de 𝜃, denotado por cos(𝜃), como sendo a 
abscissa do ponto 𝑃. Também definimos o seno de 𝜃, denotado 
por sen(𝜃), como sendo a ordenada do ponto 𝑃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deste modo, temos o círculo trigonométrico, no qual ainda podemos “localizar” as demais razões 
trigonométricas, como na figura abaixo, para um ângulo 𝛼. 
 
 
FUNÇÃO SENO 
A função seno é uma função 𝑓 de ℝ em ℝ que associa a cada 𝑥 em ℝ o número real 𝑦 = sen 𝑥. 
O domínio de 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 é ℝ e o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1]. A função seno é uma função ímpar. 
Graficamente temos: 
 
FUNÇÃO COSSENO 
A função cosseno é uma função 𝑓 de ℝ em ℝ que associa a cada 𝑥 em ℝ o número real 𝑦 = cos 𝑥. 
O domínio de 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 é ℝ e o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1]. A função cosseno é uma função par. 
Graficamente temos: 
 
 
FUNÇÃO TANGENTE 
Para todo 𝑥 real, tal que cos 𝑥 ≠ 0, definimos a função tangente (denotada por tg 𝑥) pela regra 
tg 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
 
O domínio de 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 é o conjunto ℝ − {𝜋
2⁄ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} e ℝ é o conjunto imagem. A função tangente é 
ímpar. 
Graficamente temos: 
 
FUNÇÃO SECANTE 
Para todo 𝑥 real, tal que cos 𝑥 ≠ 0, definimos a função secante (denotada por sec 𝑥) pela regra 
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 
O domínio de 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 é o conjunto ℝ − {𝜋
2⁄ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} e ℝ − (−1, 1) é o conjunto imagem. 
Graficamente temos: 
 
FUNÇÃO COSSECANTE 
Para todo 𝑥 real, tal que sen 𝑥 ≠ 0, definimos a função cossecante (denotada por csc 𝑥) pela regra 
csc 𝑥 =
1
sen 𝑥
 
O domínio de 𝑓(𝑥) = csc 𝑥 é o conjunto ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} e ℝ − (−1, 1) é o conjunto imagem. Graficamente 
temos: 
 
FUNÇÃO COTANGENTE 
Para todo 𝑥 real, tal que sen 𝑥 ≠ 0, definimos a função cotangente (denotada por cotg 𝑥) pela regra 
cotg 𝑥 =
cos 𝑥
sen 𝑥
 
O domínio de 𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 é o conjunto ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} e ℝ é o conjunto imagem. Graficamente temos: 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
É claro que a função 𝑦 = sen(𝑥) não possui inversa, pois para cada 𝑦 existem infinitos 𝑥 que satisfazem a relação 
𝑦 = sen(𝑥). Para evitar essa situação, restringimos o domínio de sen(𝑥) para obtermos uma nova função que 
não apresentará esse problema. Isto será feito para cada função trigonométrica. 
FUNÇÃO ARCO SENO 
Definamos a função 𝑓: [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] → [−1, 1] tal que 𝑓(𝑥) = sen(𝑥). Esta nova 
função possui inversa chamada função arco seno 𝑓−1: [−1, 1] → [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 
denotada por 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = arcsen(𝑥). Graficamente temos: 
 
 
FUNÇÃO ARCO COSSENO 
Definamos a função 𝑓: [0, 𝜋] → [−1, 1] tal que 𝑓(𝑥) = cos(𝑥). Esta 
nova função possui inversa chamada função arco cosseno 
𝑓−1: [−1, 1] → [0, 𝜋] denotada por 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = arccos(𝑥). 
Graficamente temos: 
 
 
FUNÇÃO ARCO TANGENTE 
Definamos a função 𝑓: (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = tg(𝑥). Esta nova função possui inversa chamada função 
arco tangente 𝑓−1: ℝ → (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) denotada por 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = arctg(𝑥). Graficamente temos: 
 
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
As funções trigonométricas restantes não serão utilizadas com tanta frequência e estão resumidas abaixo: 
A) Arco cotangente: 𝑓−1: ℝ → (0, 𝜋); 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
B) Arco secante: 𝑓−1: ℝ → (−∞, −1] ∪ [1, +∞) → [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋] ; 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
C) Arco cossecante: 𝑓−1: ℝ → (−∞, −1] ∪ [1, +∞) → [−
𝜋
2
, 0) ∪ (0,
𝜋
2
] ; 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐(𝑥) 
 
 
REFERÊNCIAS 
IEZZI,Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções. 9. ed. São 
Paulo: Atual, 2013. 1 v. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: trigonometria. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. 3 v. 
Professores do Projeto Newton. Aula no 02: Funções. 11 f. Notas de aula. 
Professores do Projeto Newton. Aula no 03: Funções Inversas, Funções Compostas e Transformações no Gráfico 
de uma Função. 09 f. Notas de aula. 
Professores do Projeto Newton. Aulas no 04 e 05: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e 
Hiperbólicas. 13 f. Notas de aula. 
STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Ceangage Learning, 2013. 1 v. 
THOMAS, George B.; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Person Education do Brasil, 2012. 
1 v. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/3376/pdf/0. Acesso em: 20 set. 2022. 
VILCHES, Mauricio A.; CORREA, Maria Luiza. Cálculo: volume I. Rio de Janeiro.