Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y,z)=x+y2z3 sobre a curva definida pela equação y(t)=(t2,4t,5t) com 0≤t≤2. ∫...

Para calcular a integral de linha da função f(x,y,z)=x+y²z³ sobre a curva definida pela equação y(t)=(t²,4t,5t) com 0≤t≤2, devemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a derivada da curva y(t) em relação a t: y'(t) = (2t, 4, 5) 2. Calcular a integral de linha: ∫(0,0,0)^(2,8,10) (x+y²z³) . y'(t) dt 3. Substituir as variáveis da curva y(t) na integral: ∫0^2 (t² + 16t²z³) . 2t dt 4. Substituir z por 5t: ∫0^2 (t² + 16t²(5t)³) . 2t dt 5. Resolver a integral: ∫0^2 (t² + 4000t^6) . 2t dt = 2∫0^2 (t^3 + 2000t^7) dt = 2[(1/4)t^4 + (1/1001)2000t^8] de 0 a 2 6. Substituir os limites de integração: 2[(1/4)2^4 + (1/1001)2000.2^8] - 2[(1/4)0^4 + (1/1001)2000.0^8] = 32/3 + 512000/1001 Portanto, a alternativa correta é a letra A: ∫20(t²+4000t6)dt = 32/3 + 512000/1001.