Problemas de Cálculo

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52. Problema: Encontre os pontos de inflexão da curva \( y = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \). 
 Resolução: Calcule a segunda derivada de \( y \) e resolva \( f''(x) = 0 \) para encontrar os 
pontos de inflexão. 
 
53. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 - y^2 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial não-linear de primeira ordem. Use métodos 
de separação de variáveis para resolvê-la. 
 
54. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \). 
 Resolução: Calcule os pontos de interseção das curvas e integre \( |f(x) - g(x)| \) sobre o 
intervalo. 
 
55. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 Resolução: Utilize a regra de L'Hôpital ou compare os crescimentos das funções 
logarítmica e polinomial. 
 
56. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto (4, 2). 
 Resolução: Calcule a derivada de \( y = \sqrt{x} \) e, em seguida, use a equação da reta 
tangente. 
 
57. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \). 
 Resolução: Encontre os valores de x que tornam o denominador diferente de zero e não 
causam uma raiz negativa. 
 
58. Problema: Resolva a equação \( 2\sin(x) + \cos(x) = 0 \). 
 Resolução: Use identidades trigonométricas para simplificar a equação e, em seguida, 
resolva para x. 
 
59. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \). 
 Resolução: Calcule os pontos de interseção das curvas e integre \( |f(x) - g(x)| \) sobre o 
intervalo. 
 
60. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx \). 
 Resolução: Utilize uma substituição trigonométrica para resolver a integral.