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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo II
Módulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2021
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A unicidade das séries de Taylor e Maclaurin pode ser usada para obter essas séries de
forma indireta, sem necessariamente calcular as derivadas da função. Como ilustração, julge
os itens a seguir a partir da série geométrica
1
1− x
=
∞∑
n=0
xn, que converge para |x| < 1.
C E a) Tem-se que
1
(1− 2x)2
=
∞∑
n=0
2n(2x)n−1.
C E b) A série de Maclaurin de
1
1 + 2x2
converge para |x| < 1.
C E c) A derivada sexta de
1
1 + 2x2
em x = 0 é negativa.
C E d) Tem-se que arctan(
√
2x) =
∞∑
n=0
(−1)n2n
x2n+1
2n+ 1
.
Colin Maclaurin (1698-1746)
C E e) A derivada de ordem 2019 da função
x3
1 + x6
em x = 0 é positiva.
2) Considere o problema de obter a solução geral da equação y′′(x)− y(x) = 0 na forma de
uma série de potências y(x) =
∞∑
n=0
anx
n.
p0(x)
p1(x)
1
a) Derivando termo a termo, expresse y′′(x) − y(x) em termos de
uma série
∞∑
n=0
bnx
n, onde os bn são dados em termos dos an.
Resposta: y′′(x) − y(x) =
∑
∞
k=0[(k + 2)(k + 1)ak+2 − ak]x
k
b) Use o item anterior para obter uma relação de recorrência para
os coeficientes an.
Resposta: an+2 = an/[(n+ 2)(n+ 1)]
c) Verifique que y(x) escreve-se na forma y(x) = a0y0(x)+a1y1(x), onde y0(x) é uma série
com apenas potências pares e y1(x) é uma série com apenas potências ı́mpares de x.
Resposta: y0(x) =
∑
∞
n=0 x
2n/(2n)! e y1(x) =
∑
∞
n=0 x
2n+1/(2n+ 1)!
d) Aproxime y0(x) e y1(x) por seus polinômios de ordem 3, e esboce os gráficos desses
polinômios no espaço indicado acima.
e) Verifique que {y0(x), y1(x)} é um conjunto fundamental de solução. Em seguida,
expresse as funções ex e e−x como combinação linear de y0(x) e y1(x).
Resposta: W [y0, y1](0) = 1, ex = y0(x) + y1(x) e e−x = y0(x)− y1(x).
Cálculo II Módulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2021 – 1/2
3) Considere uma sequência a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · ·aj ≥ · · · ≥ 0 e tal que limj→∞ aj = 0. Nesse
caso, a série
∑
∞
j=1 aj pode divergir, como é o caso da sequência aj = 1/j. No entanto, a
série alternada
∑
∞
j=1(−1)j+1aj sempre converje. Para justificar essa afirmativa, indique por
Sn =
∑n
j=1(−1)j+1aj a reduzida de ordem n da série.
a) Verifique que as reduzidas de ordem par formam
uma sequência não-decrescente.
Resposta: S2n = (a1−a2)+ (a3−a4)+ · · · (a2n−1−a2n),
onde (a2j−1 − a2j) ≥ 0
b) Verifique que as reduzidas de ordem impar for-
mam uma sequência não-crescente.
Resposta: S2n+1=a1−(a2−a3)−(a4−a5)+· · ·−(a2n−a2n+1),
onde (a2j − a2j+1) ≥ 0
c) Use os itens anteriores para concluir que a sequência das reduzidas pares é limitada
superiormente, e portanto existe o limite limn→∞ S2n = Sp.
Resposta: S2n = S2n−1 − a2n ≤ S1
d) Analogamente, conclua que a sequência das reduzidas ı́mpares é limitada inferiormente,
e portanto existe o limite limn→∞ S2n+1 = Si
Resposta: S2n+1 = S2n + a2n+1 ≥ S2
e) Conclua finalmente que a série
∑
∞
j=1(−1)j+1aj é convergente.
Resposta: passando o limite na igualdade S2n+1 = S2n + a2n+1 ≥ S2 conclui-se que Si = Sp, e dáı
segue a convergencia da série
4) A partir das séries, as funções trigonométricas podem ser estudadas de forma puramente
anaĺıtica. Como exemplo, considere as funções definidas pelas séries
s(t) =
∞∑
n=0
(−1)n
t2n+1
(2n+ 1)!
e c(t) =
∞∑
n=0
(−1)n
t2n
(2n)!
s(t)c(t)
a) Determine o raio de convergência dessas séries.
Resposta: ambas convergem para todo x ∈ R
b) Verifique que s′(t) = c(t) e c′(t) = −s(t).
Resposta: basta derivar as séries termo a termo
c) Use o item anterior para mostrar que g(t) = s2(t)+c2(t)
é constante, e calcule o seu valor.
Resposta: g′(t) = 2s(t)c(t)− 2c(t)s(t) = 0 e g(0) = c2(0) = 1
d) Dado a ∈ R, verifique que f(t) = s(a+ t)− [s(a)c(t) + s(t)c(a)] satisfaz as igualdades
f ′′(t) + f(t) = 0 e f(0) = f ′(0) = 0.
Resposta: segue do item b) e de que s(0) = 0 e c(0) = 1
e) Use o fato de que f(t) é uma série de potências para concluir que, para todo a ∈ R e
todo t ∈ R, tem-se que s(a + t) = s(a)c(t) + s(t)c(a).
Resposta: basta notar que f ′′(0) = −f(0) = 0, f ′′′(0) = f ′(0) = 0, · · · , f (n)(0) = 0, · · ·
Cálculo II Módulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.◦/2021 – 2/2