Problemas de Cálculo

Prévia do material em texto

Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = -\frac{1}{\sin(x)\cot(x)} \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
62. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(x)}{x^3} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Utilizei a identidade \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) para resolver o 
limite. 
 
63. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( 1 \) unidade quadrada. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função \( \sin(x) \) no intervalo de interesse. 
 
64. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y\tan(x) = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{-\ln|\cos(x)|} \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
65. Problema: Determine a derivada de \( y = \ln(\sec^2(x)) \). 
 Resposta: A derivada de \( y \) é \( y' = 2\tan(x) \). 
 Explicação: Utilizei a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
66. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x^3} \). 
 Resposta: O limite é \( +\infty \). 
 Explicação: O numerador cresce mais rapidamente do que o denominador. 
 
67. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da função \( \sin(x) \) no intervalo de interesse. 
 
68. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 2xy = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = Ce^{x^2} \), onde \( C \) é uma constante.