Problemas de Cálculo Matemático

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31. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
32. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^2 + bx + 
e^x \) tenha um ponto de inflexão em \( x = 0 \). 
 Resposta: \( a = 0 \) e \( b = 1 \). 
 
33. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{32}{15}\pi \). 
 
34. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( -\tan(x) \). 
 
35. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^3 \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - \frac{1}{4} \). 
 
36. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^4}} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{\sqrt{1 - x^4}}{4} + C \). 
 
37. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 - 3x^2 + 
bx + 2 \) tenha um ponto de inflexão em \( x = -1 \). 
 Resposta: \( a = -1 \) e \( b = -3 \). 
 
38. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = e^x \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{1}{2}e^2 - 1 \pi \). 
 
39. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{\tan(x)}{x^2} - \frac{2\tan(x)}{x^3} \).