Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: O volume é \( e^2 - \frac{1}{3} \pi \). 
 
49. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{\sin(x)} \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{\sin^2(x)} \). 
 
50. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = e^x \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
51. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\cot(x) + C \). 
 
52. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^2 + bx + 
\sin(x) \) tenha um ponto de inflexão em \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: \( a = -1 \) e \( b = \frac{\pi}{2} \). 
 
53. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = e^x \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( e^2 - \sin(1) \pi \). 
 
54. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^3 - x} \). 
 Resposta: A derivada é \( -\frac{2x^2 - 1}{(x^3 - x)^2} \). 
 
55. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = \ln(x) \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
56. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\sin(x)}{1 - \cos(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\ln|1 - \cos(x)| + C \). 
 
57. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 - 3x^2 + 
bx + \cos(x) \) tenha um ponto de inflexão em \( x = 1 \). 
 Resposta: \( a = 1 \) e \( b = -3 \).